【精品】第11講：數(shù)學(xué)解題方法之換元法探討.doc

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1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第11講：數(shù)學(xué)解題方法之換元法探討江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯3-8講，我們對數(shù)學(xué)思想方法進行了探討，從第九講開始我們對數(shù)學(xué)解題方法進行探討。數(shù)學(xué)問題屮，常用的數(shù)學(xué)解題方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元或設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是通過引進新的變量，把分散的條件聯(lián)系起來，把隱含的條件顯露出來，把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，把不熟悉的形式變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化

2、，把菲標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化等。通過換元，可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，化代數(shù)式為三角式等。在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元,三角換元，均值換元。結(jié)合2012年全國備地高考的實例，我們從下面三方面探討換元法的應(yīng)用：（1）局部換元法的應(yīng)用；（2）三角換元法的應(yīng)用；（3）均值換元法的應(yīng)用。一、局部換元法的應(yīng)用：局部換元，又稱整體換元，是在已知或者未知屮，某個代數(shù)式幾次岀現(xiàn),而川一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。典型例題：例1?（2012年上海市文4分）方稈42初-3二0

3、的解是_▲【答案】log23o【考點】解指數(shù)方稈?！窘馕觥糠蕉?"一2A+,-3=0,化簡為（2丁一2?2”一3=0。令2"=〈>0）,則原方程可化為r2-2f-3=0,解得t=3或心-1（舍去）。例2?⑵12年全國課標(biāo)卷理5分）已知函數(shù)/（滬玩千則y=/（x）的圖像大致為【.*?2A===log23…??原方程的解為log23o【點評】通過設(shè)2v=r（r>0）,將原方稈變?yōu)槭煜さ囊辉畏蕉捄椭笖?shù)方稈的問題。(A)(B)(C)(D)【答案】B?！究键c】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。V【解析】設(shè)g(x)=ln(l+兀)一無，則g'O)二o1+x?.?/(%)〉0時，-1

4、)v0時，x>0,???g(x)vg(0)=0。???x>0或—lvxvO均有/(x)vO。因此排除A,C,ZK故選B?！军c評】通過設(shè)gW=ln(l+x)-A-,將原函數(shù)變?yōu)檩^為簡單的函數(shù)，討論其單調(diào)性得到原函數(shù)的單調(diào)性,從而作岀正確的判斷。例3?(2012年安徽省理13分)設(shè)f(x)=aex+—+b(a>0)aex(I)求/(兀)在［0,+8)上的最小值;(II)設(shè)曲線y=f(x)在點(2,/(2))的切線方程為y=

5、心求的值?！敬鸢浮拷猓?I)設(shè)/=e'(/n1),則y—ath。at.,1a2t2--y—=——。arar%1當(dāng)dhl時，>0。.Iy=加+丄+方在/

6、XI上是增函數(shù)。at???當(dāng)/=l(x=0)時，/(X)的最小值為a+丄+b。a%1當(dāng)0vdv1時，y=at-￥—+b>2--b"at???當(dāng)且僅當(dāng)at=(t=ex=丄,兀二一Ina)時，f(x)的最小值為〃+2。a由題意得：v/(2)=3廠⑵二I,解得l),將原函數(shù)變?yōu)檩^為簡單的函數(shù)，討論其單調(diào)性得到原函數(shù)的單調(diào)性。例4.(2012年全國

7、課標(biāo)卷文5分)數(shù)列何｝滿足an+1+(-l)nan=2n-l,則何｝的前60項和為【】(A)3690(B)3660(C)1845(D)1830【答案】Do【考點】分類歸納(數(shù)字的變化類)，數(shù)列?！窘馕觥壳蟪觯鸻n｝的通項:由an+1+(-l)nan=2n-l得,當(dāng)n=l時，a2=l+a1:當(dāng)n=2時，a；=3-a2=2-d］；當(dāng)n=3時，a4=5+a,=7-a!:當(dāng)n=4時,a-=7-a4=a(；當(dāng)n=5時，a(,=9+a§=9+a

8、；當(dāng)n=6時，a7=11-a6=2-aj；當(dāng)n=7時，a?=13+a&=15-a〕；當(dāng)n=8時，a8=15-a7=a］:當(dāng)n=4m+lH'

9、J-,a4lll+2=8m+l+a］；當(dāng)口1說2時，a4m+2=2-a,；當(dāng)n=4m+3時，a4in+4=8m+7-；當(dāng)n=4m+4時,a4m+5=a((m=0,1,2,)。???｛an｝的四項Z和為％甸+a畑2+84時3+a佔=ai+(8m+l+aJ+(2-aJ+(8m+7-aJ=16m+10(m=0,l,2,)o設(shè)bm=a4m+l+a4m+2+a4m+3+a4m+4=16m+10(01=0,1,2,……)。則｛aj的前60項和等于｛"｝的前15項和，而｛嘰｝是肖項為10,公差為16的等差數(shù)列，【點評】通過設(shè)bni=a4ni+1+a4n