第11講：數(shù)學(xué)解題方法之換元法探討

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1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第11講：數(shù)學(xué)解題方法之換元法探討江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯3～8講，我們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，從第九講開始我們對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行探討。數(shù)學(xué)問題中，常用的數(shù)學(xué)解題方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。　換元法又稱輔助元素法、變量代換法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元或設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是通過引進(jìn)新的變量，把分散的條件聯(lián)系起來，把隱含的條件顯露出來，把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，把不熟悉的形

2、式變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化，把非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化等。通過換元，可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，化代數(shù)式為三角式等。在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元，三角換元，均值換元。結(jié)合2012年全國各地高考的實(shí)例，我們從下面三方面探討換元法的應(yīng)用：（1）局部換元法的應(yīng)用；（2）三角換元法的應(yīng)用；（3）均值換元法的應(yīng)用。一、局部換元法的應(yīng)用：局部換元，又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要

3、通過變形才能發(fā)現(xiàn)。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1.（2012年上海市文4分）方程的解是▲【答案】?！究键c(diǎn)】解指數(shù)方程?！窘馕觥糠匠蹋?jiǎn)為。令，則原方程可化為，解得或（舍去）?！??！嘣匠痰慕鉃??！军c(diǎn)評(píng)】通過設(shè)，將原方程變?yōu)槭煜さ囊辉畏匠毯椭笖?shù)方程的問題。例2.（2012年全國課標(biāo)卷理5分）已知函數(shù)；則的圖像大致為【】【答案】。【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】設(shè)，則?！邥r(shí)，；時(shí)，，∴?！嗷蚓?。因此排除。故選?！军c(diǎn)評(píng)】通過設(shè)，將原函數(shù)變?yōu)檩^為簡(jiǎn)單的函數(shù)，討論其單調(diào)性得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而作出正確的判斷。例3.（2

4、012年安徽省理13分）設(shè)（I）求在上的最小值；（II）設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為；求的值。【答案】解：（I）設(shè)，則。∴。①當(dāng)時(shí)，?！嘣谏鲜窃龊瘮?shù)?！喈?dāng)時(shí)，的最小值為。②當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為。（II）∵，∴。由題意得：，即，解得?！究键c(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的增減性，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥浚↖）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的的性質(zhì)分和求解。（II）根據(jù)切線的幾何意義列方程組求解。【點(diǎn)評(píng)】通過設(shè)，將原函數(shù)變?yōu)檩^為簡(jiǎn)單的函數(shù)，討論其單調(diào)性得到原函數(shù)的單調(diào)性。例4.（2012年全國課標(biāo)卷文5分）數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為【】（A）369

5、0（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D?！究键c(diǎn)】分類歸納（數(shù)字的變化類），數(shù)列?！窘馕觥壳蟪龅耐?xiàng)：由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；······當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（）?！?，∴的四項(xiàng)之和為（）。設(shè)（）。則的前項(xiàng)和等于的前15項(xiàng)和，而是首項(xiàng)為10，公差為16的等差數(shù)列，∴的前項(xiàng)和=的前15項(xiàng)和=。故選D。【點(diǎn)評(píng)】通過設(shè)（），將原數(shù)列前項(xiàng)和變?yōu)楹?jiǎn)單的等差數(shù)列前15項(xiàng)和的問題。例5.（2012年四川省文5分）設(shè)函數(shù)，是公差不為0的等差數(shù)列，，則【】A、0B、7C、14D、21

6、【答案】D?！究键c(diǎn)】高次函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列性質(zhì)?！窘馕觥俊呤枪畈粸?的等差數(shù)列，記公差為。∴。則?！?，∴。設(shè)，則。∴。故選D。【點(diǎn)評(píng)】通過設(shè)，使方程變得簡(jiǎn)單。例6.（2012年江蘇省5分）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是▲．【答案】?！究键c(diǎn)】可行域?！窘馕觥織l件可化為：。設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍。作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過切點(diǎn)的切線為，則，要使它最小，須?！嗟淖钚≈翟谔?，為。此時(shí)，點(diǎn)在上之間。當(dāng)（）對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，，∴的最大值在處，為7?！嗟娜≈捣秶鸀?，即的取值范圍是?！军c(diǎn)評(píng)】通過設(shè)，將問題變?yōu)榭?/p>

7、行域問題求解。二、三角換元法的應(yīng)用：三角換元，是利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中的聯(lián)系進(jìn)行換元，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化就是典型的三角換元。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1.（2012年安徽省理5分）在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離是▲【答案】?！究键c(diǎn)】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，點(diǎn)到直線的距離公式?！窘馕觥繉⒒癁橹苯亲鴺?biāo)方程：，其圓心坐標(biāo)為。將化為直角坐標(biāo)方程：?！喔鶕?jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得圓心到直線的距離是。【點(diǎn)評(píng)】通過極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程（本質(zhì)是三角換元），將問題變?yōu)槭煜さ那蠼庵苯亲鴺?biāo)系中點(diǎn)到直線的距離問題。例2.

8、（2012年湖南省文5分）在極坐標(biāo)系中，曲線：與曲線：的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a=　　▲　　.【答案】?！究键c(diǎn)】直線的極坐標(biāo)方程、圓的極坐標(biāo)方程，直線與圓的位置關(guān)系。【解析】曲線的直角坐標(biāo)方程是，曲線的普通方程是直角坐標(biāo)方程，∵曲線C1