求復(fù)數(shù)模的最值的常用策略.pdf

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1、18數(shù)學(xué)通訊　　　　　　　　　　　　　2003年第7期求復(fù)數(shù)模的最值的常用策略于潤(rùn)興(石家莊市42中,河北050061)中圖分類號(hào):O122.1　　　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A　　　　文章編號(hào):0488-7395(2003)07-0018-02　　復(fù)數(shù)的模是復(fù)數(shù)中的重要概念之一,復(fù)數(shù)z的評(píng)注此例是把求復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了模

2、z

3、是其對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離(復(fù)數(shù)模的幾何一元二次方程問(wèn)題,并利用其根的存在性確定所求意義).復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題既是復(fù)數(shù)問(wèn)題中的一個(gè)重的最值.點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn).其最常用的策略有:用函數(shù)思想、用代數(shù)法求復(fù)數(shù)模的最值時(shí),要注意轉(zhuǎn)化成的方程思想可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)法或三角法,用數(shù)形代

4、數(shù)問(wèn)題要有利于求最值.否則,就需要改變轉(zhuǎn)化方結(jié)合思想可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何法,用重要的不等式向,即變換解題策略,尋求新的解題方法.公式可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式法.下面我們就來(lái)分別2　用幾何法求最值舉例說(shuō)明這幾種策略.用幾何法求復(fù)數(shù)模的最值,就是利用已知的復(fù)1　用代數(shù)法求最值數(shù)方程所表示的圖形和復(fù)數(shù)模的幾何意義,把問(wèn)題用代數(shù)法求復(fù)數(shù)模的最值,在這里是指把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓半徑的最值或求一定點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距轉(zhuǎn)化為求代數(shù)中的最值問(wèn)題來(lái)解決.離的最值.例1已知復(fù)數(shù)z滿足

5、z-(2+3i)

6、+

7、z-例3已知復(fù)數(shù)z滿足(2-3i)

8、=4,試求

9、z

10、的最值.條件

11、z-3-4i

12、=2,求

13、z

14、的最值.解設(shè)z=x+y

15、i(x,y∈R),則已知條件可化解記

16、z

17、=r,則

18、z

19、=為2r和

20、z-3-4i

21、=2表示如2y(x-2)+=1.4圖1所示的圓O和圓O′,且于是有

22、z

23、=x2+y2=x2+4[1-(x-2)2]

24、OO′

25、=5.圖1　例3圖2于是,由題設(shè)可知圓O和動(dòng)圓O′相交或相切.828=-3x-3+3(1≤x≤3),所以,當(dāng)動(dòng)圓O′和圓O外切時(shí),r有最小值,且2rmin=

26、OO′

27、-2=3,即

28、z

29、min=3.從而可求得

30、z

31、min=1,

32、z

33、max=21.3而當(dāng)動(dòng)圓O′和圓O內(nèi)切時(shí),r有最大值,且評(píng)注把求復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一次函rmax=

34、OO′

35、+2=7,即

36、z

37、max=7.數(shù)或二次函數(shù)在

38、閉區(qū)間上的最值問(wèn)題.此例的一般題型是“已知:z1,z2是兩個(gè)不等的例2已知復(fù)數(shù)z適合方程

39、z-i

40、=

41、z+2-復(fù)常數(shù),r為正實(shí)常數(shù),且

42、z-z1

43、=r(z∈C),試3i

44、,求

45、z-2+i

46、的最小值.求

47、z-z2

48、的最值.”例2也可用這一方法求解.解記

49、z-2+i

50、=r,并設(shè)z=x+yi(x,y∈評(píng)注用幾何法求復(fù)數(shù)模的最值要充分利用已R),則已知方程和

51、z-2+i

52、=r分別可化為222知復(fù)數(shù)方程所表示的曲線之形狀,一般都是在動(dòng)圓y=x+3和(x-2)+(y+1)=r.和曲線相切時(shí),動(dòng)圓的半徑才取得最值.在解具體問(wèn)消去方程中的y,可得22題時(shí)還常常用到平面幾何或平面解析幾何的相關(guān)知2x+4x

53、+20-r=0(x∈R).2識(shí).于是,有Δ=16-8(20-r)≥0.3　用三角法求最值從而解得r≥32,即得所求的最小值為32.收稿日期:2002-10-15作者簡(jiǎn)介:于潤(rùn)興(1960-),男,遼寧寬甸縣人,河北石家莊市42中高級(jí)教師.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.2003年第7期　　　　　　　　　　　　　數(shù)學(xué)通訊19用三角法求復(fù)數(shù)模的最值,一般都是通過(guò)引進(jìn)+

54、z-4+5i

55、.復(fù)數(shù)的三角形式或復(fù)數(shù)方程的代數(shù)方程之參數(shù)形式利用題設(shè)可知42-3≤

56、z+i

57、≤42+3.(以角為參數(shù)的),將復(fù)數(shù)模轉(zhuǎn)

58、化為角參數(shù)的三角函評(píng)注值得注意的是,用這種方法求復(fù)數(shù)模的數(shù),即將求復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求三角函數(shù)最值,要特別考慮等號(hào)成立的充要條件.如果不存在的最值問(wèn)題.z使等號(hào)成立,那么此方法就失效了.2例4已知復(fù)數(shù)z的模為1,求

59、z+z+1

60、的最例如,若

61、z

62、=1,則33值.u=

63、z-3z-2

64、≥

65、z

66、+

67、-3z

68、+

69、-2

70、=3解由

71、z

72、=1知,z可記為z=cosθ+isinθ,且

73、z

74、+

75、-3z

76、+2=6,即u的最大值為6,此時(shí)等號(hào)23z…z=

77、z

78、=1.成立.但取等號(hào)時(shí),三個(gè)復(fù)數(shù)z,-3z,-2的對(duì)應(yīng)向223所以

79、z+z+1

80、=

81、z+z+z…z

82、量是同向的,即三者均為復(fù)實(shí)數(shù).因

83、z

84、=1,所

85、以z=

86、z

87、·

88、z+1+…z

89、=

90、2cosθ+1

91、.=-1,且-3z=-3,而這兩個(gè)方程無(wú)公共實(shí)數(shù)解,2故cosθ=1時(shí),

92、z+z+1

93、取最大值為3;而即等號(hào)不成立.故6不是所求的最大值.(具體求法1見(jiàn)例8)cosθ=-時(shí),取最小值為0.24.2　利用有關(guān)的均值不等式求最值例5已知復(fù)數(shù)z適合

94、z-3

95、=5,求

96、z-1-2例7設(shè)關(guān)于x的方程x+zx+4+3i=0有4i

97、的最值.實(shí)數(shù)根,求

98、z

99、的最小值.解據(jù)條件可設(shè)z-3=5+(cos