知識講解1.1.1正弦定理.doc

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1、1.1.1正弦定理　【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過對直角三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，初步學(xué)會運用由特殊到一般的思維方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；2.會利用正弦定理解決兩類解三角形的問題；（1）已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而求出其它邊角）.【要點梳理】要點一、學(xué)過的三角形知識1.中（1）一般約定：中角A、B、C所對的邊分別為、、；（2）；（3）大邊對大角，大角對大邊，即；等邊對等角，等角對等邊，即；（4）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即，.2.中，，（1），（2）（3），，；，，要點二、正弦定理

2、及其證明正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推導(dǎo)第9頁共9頁證明：，，，即：，，，∴．斜三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：法一：向量法（1）當(dāng)為銳角三角形時過作單位向量垂直于，則+=兩邊同乘以單位向量，得(+)=，即∴，∵，，，，，∴，∴，同理：若過作垂直于得：∴，（2）當(dāng)為鈍角三角形時設(shè)，過作單位向量垂直于向量，同樣可證得：．法二：圓轉(zhuǎn)化法（1）當(dāng)為銳角三角形時如圖，圓O是的外接圓，直徑為，則，第9頁共9頁∴，∴（為的外接圓半徑）同理：，故：（2）當(dāng)為鈍角三角形時如圖，.法三：面積法任意斜中，如圖作，則同理：，故

3、，兩邊同除以即得：要點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一。（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；②已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊。要點三、解三角形的概念一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素.任何一個三角形都有六個元素：三邊、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.第9頁共9頁有了關(guān)于解三角形的有關(guān)定理（如勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理，

4、還有即將學(xué)習(xí)的余弦定理等），三角學(xué)特別是測量學(xué)得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角.要點四、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；要點詮釋：已知a，b和A，用正弦定理求B時的各種情況；(1)若A為銳角時：如圖：(2)若A為直角或鈍角時：判斷三角形形狀判斷三角形形狀的思路通常有以下兩種：（1）化邊為角；（2）化角為邊.對條件實施轉(zhuǎn)化時，考慮角的關(guān)系，主要有：(1)兩角是否相等？(2)三個角是否相等？（3）有

5、無直角、鈍角？考查邊的關(guān)系，主要有：（1）兩邊是否相等？（2）三邊是否相等要點詮釋：對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來對解進行討論。此外，有的時候還要對邊角關(guān)系（例如，大邊對大角）進行討論從而舍掉不合理的解.【典型例題】類型一：正弦定理的簡單應(yīng)用：第9頁共9頁例1．已知在中，，，，求和B.【答案】【解析】，∴，∴，又，∴．【總結(jié)升華】1.正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題；2.數(shù)形結(jié)合將已知條件表示在示意圖形上，可以清楚地看

6、出已知與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：【變式1】在中，已知，，，求、.【答案】，根據(jù)正弦定理，∴.【變式2】在中，已知，求【答案】根據(jù)正弦定理，得.例2．在，求和，．【解析】由正弦定理得：，∴，（方法一）∵，∴或，第9頁共9頁當(dāng)時，，（舍去）；當(dāng)時，，∴．（方法二）∵，，∴，∴即為銳角，∴，【總結(jié)升華】1.正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題。2.在利用正弦定理求角時，因為，所以要依據(jù)題意準(zhǔn)確確定角的范圍，再求出角.3.一般依據(jù)大邊對大角或三角形內(nèi)角和進行角的取舍.舉一反三：【變式1】在中，，，，求和．【答案】∵

7、，∴，∵，∴或∴當(dāng)時，，；∴當(dāng)時，，；所以，或．【變式2】在中,,,求和；【答案】∵，∴∵，∴或①當(dāng)時，，；②當(dāng)時，（舍去）。第9頁共9頁【變式3】在中，，,,求.【答案】由正弦定理，得.∵,∴，即∴類型二：正弦定理的綜合運用例3.在△ABC中，，。（Ⅰ）求角C的大?。唬á颍┤簟鰽BC最大邊的邊長為，求最小邊的邊長?！窘馕觥浚á瘢逤=π-（A+B）,∴tanC=-tan（A+B）=-又∵0

8、題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力