知識(shí)講解-正弦定理-提高.doc

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1、正弦定理編稿：李霞　　　審稿：張林娟　【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)對(duì)直角三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用由特殊到一般的思維方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；2.會(huì)利用正弦定理解決兩類(lèi)解三角形的問(wèn)題；（1）已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而求出其它邊角）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：學(xué)過(guò)的三角形知識(shí)1.中（1）一般約定：中角A、B、C所對(duì)的邊分別為、、；（2）；（3）大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊，即；等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，即；（4）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即，.2.中

2、，，（1），（2）（3），，；，，要點(diǎn)二：正弦定理及其證明正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：，，，即：，，，∴．斜三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：法一：向量法（1）當(dāng)為銳角三角形時(shí)過(guò)作單位向量垂直于，則+=兩邊同乘以單位向量，得(+)=，即∴，∵，，，，，∴，∴，同理：若過(guò)作垂直于得：∴，（2）當(dāng)為鈍角三角形時(shí)設(shè)，過(guò)作單位向量垂直于向量，同樣可證得：．法二：構(gòu)造直角三角形（1）當(dāng)為銳角三角形時(shí)如圖，作邊上的高線交于，則:在中,，即，在中,,即,∴，即.同理可證∴（2）當(dāng)

3、為鈍角三角形時(shí)如圖，作邊上的高線交于，則:在中,，即，在中,,即,∴，即.同理可證∴法三：圓轉(zhuǎn)化法（1）當(dāng)為銳角三角形時(shí)如圖，圓O是的外接圓，直徑為，則，∴，∴（為的外接圓半徑）同理：，故：（2）當(dāng)為鈍角三角形時(shí)如圖，.法四：面積法任意斜中，如圖作，則同理：，故，兩邊同除以即得：要點(diǎn)詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；靈活利用正弦定理，還需知道它的幾個(gè)變式，比如：，,等等.要點(diǎn)三：利用正弦定理解三角形一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對(duì)的邊叫做三角形的幾何元素.任何一個(gè)三角形都有六個(gè)

4、元素：三邊和三角.在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形.利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：（1）已知兩角和一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，然后再進(jìn)一步求出其他的邊和角.要點(diǎn)詮釋：已知a，b和A，用正弦定理求B時(shí)的各種情況；(1)若A為銳角時(shí)：如圖：(2)若A為直角或鈍角時(shí)：判斷三角形形狀判斷三角形形狀的思路通常有以下兩種：（1）化邊為角；（2）化角為邊.對(duì)條件實(shí)施轉(zhuǎn)化時(shí)，考慮角的關(guān)系，主要有：(1)兩角是否相等？(2)三個(gè)角是否相等？（

5、3）有無(wú)直角、鈍角？考查邊的關(guān)系，主要有：（1）兩邊是否相等？（2）三邊是否相等？要點(diǎn)詮釋：對(duì)于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時(shí)要注意對(duì)解的討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來(lái)對(duì)解進(jìn)行討論。此外，有的時(shí)候還要對(duì)邊角關(guān)系（例如，大邊對(duì)大角）進(jìn)行討論從而舍掉不合理的解.【典型例題】類(lèi)型一：正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用：【高清課堂：正弦定理例1】例1．已知在中，，，，求和B.【思路點(diǎn)撥】本題考查正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值，三角形中邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系等。由正弦定理列出邊a滿足的方

6、程，再根據(jù)三角形內(nèi)角和來(lái)確定角B的值?！窘馕觥?，∴，∴，又，∴．【總結(jié)升華】1.正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問(wèn)題；2.數(shù)形結(jié)合將已知條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出已知與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：【變式1】在中，已知，，，求、.【答案】，根據(jù)正弦定理，∴.【變式2】在中，若，則等于（）A.B.C.或D.或【答案】由可得，由正弦定理可知，故可得，故或。故選B.【變式3】中，，BC＝3，則的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答案】由正弦定理得：，得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝

7、．故三角形的周長(zhǎng)為：3＋b＋c＝，故選D．例2.已知下列三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角，判斷三角形的情況，有解的作出解答。(1)a=7,b=9,A=100(2)a=10,b=20,A=75(3)a=10,c=5,C=60(4)a=2【思路點(diǎn)撥】已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角求解三角形的有可能有兩種情況，具體有幾解可以借助于要點(diǎn)梳理中要點(diǎn)三中的方法解決?！窘馕觥浚?）本題無(wú)解。（2）本題無(wú)解。（3）本題有一個(gè)解。利用正弦定理，可得：（4）本題有兩解。由正弦定理得：當(dāng)綜上所述：【總結(jié)升華】已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角求解三角形的

8、有可能有兩種情況，具體方法可以借助于下了表格：A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a=b無(wú)解無(wú)解一解absinA兩解a=bsinA一解A