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《計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的多視圖幾何第二章3D射影幾何和變換.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、3D射影幾何和變換點(diǎn)與直線直線的齊次表示：ax+by+c=0(a,b,c)’看做矢量，(ka,kb,kc)’也是矢量；上述兩個(gè)矢量是等價(jià)的，因?yàn)橹徊钜粋€(gè)全局縮放因子，卻都表示相同的直線；這種等價(jià)關(guān)系下的等價(jià)類叫做齊次矢量；在IR2中的矢量等價(jià)類的集合組成射影空間IP2，(0,0,0)’；2點(diǎn)的齊次表示表示：點(diǎn)，x=(x,y)’；直線I=(a,b,c)’；ax+by+c=0;方法：把“1”作為增加在點(diǎn)中的最后一個(gè)坐標(biāo)使IR2變成一個(gè)齊次矢量；充要條件：(x,y,1)與(a,b,c)’的內(nèi)積是ax+by+c=0；通式：點(diǎn)的齊次表示為x
2、=(x1,x2,x3)’x=(x1/x3,x2/x3)；3理想點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)線兩條平行線L1：ax+by+c=0L2：ax+by+c‘=0可以求得兩條直線的交點(diǎn)為（bc’-bc,0,0）這是點(diǎn)的齊次表示，當(dāng)我們用非其次點(diǎn)來(lái)表示時(shí)會(huì)出現(xiàn)bc’-bc/0的問(wèn)題，這就是說(shuō)兩條線的交點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處4理想點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)IR2是包含了那些在坐標(biāo)齊次表示下x3!=0的點(diǎn)，當(dāng)我們把x3=0的點(diǎn)與IR2集合起來(lái)，形成IP2，我們稱IP2為射影空間。X3=0的點(diǎn)叫理想點(diǎn),或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合是一條直線，即無(wú)窮遠(yuǎn)線。I=（0,0,1）表示無(wú)窮遠(yuǎn)線任意直線
3、與無(wú)窮遠(yuǎn)線的交點(diǎn)都是(b,-a,0)，所以無(wú)窮遠(yuǎn)線可以看作是平面上所有直線方向的集合5點(diǎn)和射影變換2D射影幾何中點(diǎn)的非齊次表示(X,Y)，齊次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c).3D射影幾何中點(diǎn)X用齊次表示時(shí)需要一個(gè)4維矢量，齊次矢量X=(x1,x2,x3,x4),對(duì)應(yīng)非齊次坐標(biāo)(X,Y,Z),當(dāng)X=x1/x4,Y=x2/x4,Z=x3/x4。在x4=0時(shí)，齊次點(diǎn)X表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。6平面、直線和二次曲面的表示和變換直線公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c).平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢
4、量(π1,π2,π3,π4)’.齊次化,X=x1/x4,Y=x2/x4,Z=x3/x4.得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0或簡(jiǎn)記為π’X=0.表示點(diǎn)X在π上.7聯(lián)合與關(guān)聯(lián)關(guān)系(1)平面可由一般位置的三個(gè)點(diǎn)或一條直線與一個(gè)點(diǎn)的聯(lián)合來(lái)唯一確定(2)兩張不同的平面交于唯一的直線(3)三張不同的平面相較于一點(diǎn)8三點(diǎn)確定一張平面(1)設(shè)三點(diǎn)Xi在平面π上,那么每點(diǎn)滿足π’X=0x1’π1’x2’π=0π2’x=0x3’π3’因?yàn)橐话阄恢?，所以它們線性無(wú)關(guān)(2)矩陣M=[X,X1,X2,X3],它由一般位置的點(diǎn)X和確定平面π的三點(diǎn)
5、Xi組成.當(dāng)X在π上時(shí)，IMI=0因?yàn)槿c(diǎn)確定一個(gè)平面，再多一點(diǎn)，肯定可以用X1,X2,X3線性表示，所以不是滿秩的。IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123π=(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空間9射影變換在點(diǎn)變換X’=HX下，平面變換為π‘=H’‘‘π平面上的點(diǎn)的參數(shù)表示在平面π上的點(diǎn)X可以寫成X=Mx其中M是4*3矩陣，設(shè)平面π=(a,b,c,d)’且a非零，那么M’可以寫成M‘=[PII3*3]，其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’10直線的表示兩點(diǎn)的連線或兩平面的
6、相交定義一條直線，每個(gè)交點(diǎn)由兩個(gè)參數(shù)確定，兩個(gè)交點(diǎn)有四個(gè)參數(shù)，故有四個(gè)自由度.問(wèn)題，4個(gè)自由度得5個(gè)變量表示。(1)零空間與生成子空間表示11(2)Plucker矩陣將一條直線由4*4的反對(duì)稱齊次矩陣表示，連接兩點(diǎn)A,B的直線L的矢量表示：L=AB’-BA’L有若干如下性質(zhì)：1、L的秩為22、該表示具有描述一條直線所需要的4個(gè)自由度，6-23、矩陣L與用來(lái)確定它的點(diǎn)A,B無(wú)關(guān),C=A+aB代替時(shí),那么得到的矩陣是L’’=AC’-CA’=A(A’+aB’)-(A+aB)A’=AB’-BA’=L12設(shè)A,B分別是原點(diǎn)和X-方向的理想點(diǎn)
7、L=(0,0,0,1)’(1,0,0,0)-(1,0,0,0)’(0,0,0,1)=4行4列的矩陣反對(duì)稱矩陣，左下角1由兩平面P,Q的交線確定的直線的對(duì)偶Plucker表示為L(zhǎng)*=PQ’-QP’并與L有相似的性質(zhì)。在點(diǎn)變換下，L*’=H‘’‘L*H’‘,矩陣L*可由L通過(guò)簡(jiǎn)單的重寫規(guī)則得到：l12:l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12對(duì)偶的原則是1234的集合13Plucker直線坐標(biāo)(1)是Plucker反對(duì)乘矩陣的六個(gè)非零元素的集合，即l={l12,l13,l14,
8、l23,l42,l34}l的行列式值為0，故有l(wèi)12*l34+l13*l42+l14*l23=0(2)假定兩條直線l1和l2分別由連接A,B和連接A1，B1所產(chǎn)生的，這些直線相交的充要條件是四點(diǎn)共面，所以行列式值為零,即IA,B,A1,B1I=0.
