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1、第三章周期信號的 傅立葉級數(shù)表示3.1引言回顧第一章，由單位沖激的組合性質(zhì)→信號可分解為單位沖激信號的加權(quán)積分或加權(quán)和回顧第二章，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：啟示：如果任意（或者是非常廣泛的）信號都能分解為某基本信號的線性組合系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)簡單易求則可方便地求出系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)——解決方法之一：卷積法求系統(tǒng)響應(yīng)？是否有其他的信號可作為基本信號答：3.2LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)復(fù)指數(shù)信號的重要性質(zhì)：LTI系統(tǒng)對其的響應(yīng)是同樣的復(fù)指數(shù)信號，增加幅度因子：即→H(s)→H(z)——LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)復(fù)振幅因子H(s)，H(z)——系統(tǒng)的特征值證明：LTI系統(tǒng)h(t).
2、輸入x(t)=y(t)===H(s)=若收斂，則y(t)=H(s)對離散LTI系統(tǒng)，H(z)=,y[n]=H(z)結(jié)論：若連續(xù)(離散)時間LTI系統(tǒng)的輸入x(t)=x[n]=則y(t)=y[n]=s,z可以是任意復(fù)數(shù)s=，z=時，即分別以為基函數(shù)——傅立葉分析3.3連續(xù)時間周期信號的 傅立葉級數(shù)表示3.3.1成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合周期復(fù)指數(shù)信號與正弦信號基波頻率，基波周期成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集：其線性組合：也是周期的，基波周期的兩項基波頻率為——基波分量或一次諧波分量的兩項基波頻率為——N次諧波分量上式即為周期信號的傅立葉級數(shù)表示3.3.2連續(xù)時間周期信號傅立
3、葉級數(shù)表示的確定兩邊同乘以此處有錯從積分……利用（正交性）在任意一個T間隔內(nèi)，有連續(xù)時間周期信號傅立葉級數(shù)物理意義：周期信號可以分解為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合傅立葉級數(shù)系數(shù)/頻譜系數(shù)，常為復(fù)數(shù)反映中每一個諧波分量的相對大小直流分量三角形式的傅立葉級數(shù)（實周期信號）3.3.3傅立葉級數(shù)收斂的條件兩種表示：A.一個周期內(nèi)能量有限的信號,即滿足此條件，信號x(t)與其傅立葉級數(shù)表示在能量上沒有差別B.狄里赫利條件：條件1：在任何周期內(nèi)，x(t)絕對可積，即條件2：在任意有限區(qū)間內(nèi)，x(t)具有有限個起伏變化.條件3：在x(t)的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個不連續(xù)點，且在不
4、連續(xù)點上函數(shù)值有限滿足這組條件的信號x(t)，在連續(xù)點上x(t)的值等于其傅立葉級數(shù)表示，而在不連續(xù)點上，傅立葉級數(shù)收斂于不連續(xù)點兩邊值的平均值例x(t)=求例：周期方波，在一個周期內(nèi)……k-1011/2j-1/2j(占空比)T=4T13.3.4傅立葉級數(shù)的近似用有限項的線性組合組合來表示原信號按均方誤差最小準則，得傅立葉級數(shù)系數(shù)與無限項組合的系數(shù)相同，且與所取項數(shù)目無關(guān)吉布森現(xiàn)象-存在“超量”，且與項數(shù)無關(guān)項數(shù)M越大，越接近原信號：上升沿和下降沿越來越陡，峰值位置越接近原信號的不連續(xù)點——含有更多的高頻分量3.4離散時間周期信號的傅立葉級數(shù)表示與連續(xù)時間信號的區(qū)別：離散
5、---有限項級數(shù)，連續(xù)---無窮級數(shù)3.4.1成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合周期信號：x[n]=x[n+N].基波頻率考慮（1）諧波信號（2）只有N個信號是不同的的線性組合：表示僅需在連續(xù)N個整數(shù)上取值-----離散時間傅立葉級數(shù)-----傅立葉級數(shù)系數(shù)/頻譜系數(shù)3.4.2離散周期信號傅立葉級數(shù)表示的確定方法一：解聯(lián)立方程組方法二：類似連續(xù)時間兩邊同乘在N項上求和……利用正交性沒有收斂問題物理意義：周期信號可以分解為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合---頻譜系數(shù)，共有N個，常為復(fù)數(shù)反映x[n]中每一個諧波分量的相對大小綜合公式、分析公式例：求的頻譜系數(shù)解：僅當整數(shù)
6、或整數(shù)的比時，x[n]是周期的。分兩種情況：（1）基波頻率……一個周期內(nèi)其余（2）……一個周期內(nèi)其余例：求頻譜系數(shù)解：在0…N-1一個周期中，圖：N1=2,N=10,20,403.5連續(xù)時間傅立葉級數(shù)性質(zhì)3.5.1線性若x(t),y(t)周期均為T,則：3.5.2時移若，則(模不變)(分析公式證)3.5.3時間反轉(zhuǎn)若，則(由綜合公式證）偶函數(shù)的？奇函數(shù)的？3.5.4時域尺度變換周期改變：x(t)周期為T，則(為正實數(shù))周期為傅立葉系數(shù)沒有改變，但傅立葉級數(shù)表示改變，因基波頻率改變3.5.5相乘若x(t)、y(t)周期都為T，且則乘積的周期仍為T，且有：(卷積)3.5.6共
7、軛及共軛對稱性若則（用綜合公式證明）對實信號？若x(t)為實偶信號？若x(t)為實奇信號？純虛數(shù)，奇3.5.7連續(xù)時間周期信號的帕斯瓦爾定理——k次諧波的平均功率物理意義：總平均功率=所有諧波的平均功率之和3.6離散時間福立葉級數(shù)性質(zhì)3.6.1相乘周期卷積計算3.6.2一次差分x[n]-x[n-1]3.6.3離散時間周期信號的帕斯瓦爾定理周期信號的平均功率=所有諧波分量平均功率之和3.7舉例1、求頻譜系數(shù)解：回憶3.3節(jié)例相當于T1=1,T=4,且g(t)=x(t-1)-1/2由時移性質(zhì)有：由線性性質(zhì)：2、求x[n]的頻譜系數(shù)
