比率估計(jì)與回歸估計(jì).ppt

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1、第五章比率估計(jì)與回歸估計(jì)2本章要點(diǎn)本章討論了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣下比率估計(jì)量和回歸估計(jì)量的構(gòu)造及性質(zhì)。要求：①掌握總體比率、比率估計(jì)量及回歸估計(jì)量的概念。②了解比率估計(jì)量、回歸估計(jì)量的偏倚、方差及方差的估計(jì)量。③掌握應(yīng)用比率估計(jì)量及回歸估計(jì)量的條件。3第一節(jié)問(wèn)題的提出在許多實(shí)際問(wèn)題中常常涉及兩個(gè)調(diào)查變量（指標(biāo)）Y和X。對(duì)于包含個(gè)抽樣單元的總體除了對(duì)總體信息進(jìn)行估計(jì)外，常常要估計(jì)總體比率R。總體比率在形式上總是表現(xiàn)為兩個(gè)變量總值或均值之比。在涉及兩個(gè)變量的抽樣調(diào)查中，有兩種情況需要應(yīng)用比率估計(jì)

2、量。一種情況是利用雙變量樣本對(duì)總體比率進(jìn)行估計(jì)需應(yīng)用比率估計(jì)量，此時(shí)兩個(gè)變量均為調(diào)查變量。另一種情況是一個(gè)變量為調(diào)查變量，另一個(gè)變量表現(xiàn)為與調(diào)查變量有密切關(guān)系的輔助變量，在對(duì)調(diào)查變量總體總值、總體均值等目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì)時(shí)，利用已知的輔助變量信息構(gòu)造比率估計(jì)量可以改進(jìn)估計(jì)的精度?；谶@種考慮利用已知的輔助變量信息構(gòu)造比率估計(jì)量就可使估計(jì)精度加以改進(jìn)。4第二節(jié)比率估計(jì)一、比率估計(jì)量設(shè)對(duì)有兩個(gè)調(diào)查變量Y和X的總體進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分別以y，x表示樣本總值，以表示樣本均值，以為樣本比率，用作為總體比率R的估計(jì)

3、稱為的比率估計(jì)。比率估計(jì)量除了使用調(diào)查變量樣本信息外，還要使用輔助變量總體信息與樣本信息，而且是非線性估計(jì)量。這類估計(jì)量稱為復(fù)雜估計(jì)量。由于比率估計(jì)量使用的信息比簡(jiǎn)單估計(jì)量多，因而有可能比簡(jiǎn)單估計(jì)量有更高的精度。同時(shí)由于比率估計(jì)量是非線性估計(jì)量，因而對(duì)其性質(zhì)的研究比對(duì)簡(jiǎn)單估計(jì)量要復(fù)雜得多。5二、比率估計(jì)量的偏倚與均方誤差比率估計(jì)量是有偏估計(jì)量，但當(dāng)樣本量增大時(shí)其偏倚將趨于零。理論上可以證明，分別為的近似無(wú)偏估計(jì)量,而且對(duì)于比率估計(jì)量，其方差主要取決于與之間的差異，當(dāng)時(shí)，估計(jì)量方差將很小。換言之，比率

4、估計(jì)量將有很高的精度。這告訴我們，只有當(dāng)兩個(gè)變量大致成正比例關(guān)系時(shí)，應(yīng)用比率估計(jì)量才能使估計(jì)精度有較大改進(jìn)。6三、比率估計(jì)量方差的估計(jì)與置信區(qū)間對(duì)于一般的n，比率估計(jì)量呈右偏分布，只有當(dāng)n＞30,＜0.1,＜0.1這些條件同時(shí)滿足時(shí)才能直接用正態(tài)分布構(gòu)造置信區(qū)間。R的置信區(qū)間為[]其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α/2分位點(diǎn)，0＜α＜1。類似可得、Y的置信區(qū)間。7案例一8解答過(guò)程9案例二10解答過(guò)程11四、比率估計(jì)量?jī)?yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量的條件定量分析計(jì)算表明，并非任何情況下比率估計(jì)量都優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量，只有當(dāng)調(diào)查變量

5、與輔助變量有較高的正相關(guān)性時(shí)比率估計(jì)量才能使估計(jì)精度有較大提高。若≈，則只需當(dāng)ρ＞0.5時(shí)比率估計(jì)量就比簡(jiǎn)單估計(jì)量精度高。12五、多元比率估計(jì)對(duì)于調(diào)查變量Y，若有p個(gè)具有正相關(guān)性的輔助變量則可構(gòu)造多元比率估計(jì)。設(shè)是的基于第k個(gè)輔助變量的比率估計(jì)，則的多元比率估計(jì)量為：其中是相應(yīng)變量的樣本總值，是輔助變量總體均值，是適當(dāng)選取的權(quán)，滿足。利用拉格朗日乘數(shù)法可計(jì)算得此時(shí)最小方差為13案例三14解答過(guò)程15六、乘積估計(jì)當(dāng)輔助變量X與調(diào)查變量Y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，不能應(yīng)用比率估計(jì)而應(yīng)改用乘積估計(jì)乘積估計(jì)優(yōu)于簡(jiǎn)單估

6、計(jì)的條件是＜此時(shí)＜在實(shí)際問(wèn)題中與調(diào)查變量呈負(fù)相關(guān)的變量很少見，因此乘積估計(jì)應(yīng)用極為有限。16第三節(jié)回歸估計(jì)一、定義在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，總體均值和總體總值Y的回歸估計(jì)量定義為：其中，分別為調(diào)查變量、輔助變量的樣本均值，是輔助變量的總體均值，稱為回歸系數(shù)。17二、β為設(shè)定常數(shù)情形設(shè)是設(shè)定常數(shù)，取β＝，則回歸估計(jì)量是的無(wú)偏估計(jì)量。其方差為當(dāng)時(shí)達(dá)最小值18三、β取樣本回歸系數(shù)情形若β需根據(jù)樣本確定，一個(gè)合理的選擇是取β為樣本回歸系數(shù)此時(shí)的回歸估計(jì)量為一復(fù)雜估計(jì)量，不再具有無(wú)偏性。19四、回歸估計(jì)與比率估計(jì)及簡(jiǎn)

7、單估計(jì)的大樣本比較對(duì)于大的樣本量，總有這就是說(shuō)在大樣本下回歸估計(jì)總是優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)，僅在ρ＝0時(shí)兩者效果相同。的充分必要條件為這等價(jià)于因此除非Y關(guān)于X的總體回歸系數(shù)B＝R，否則回歸估計(jì)總是優(yōu)于比率估計(jì)，僅在B＝R時(shí)兩者效果相同。20案例四21解答過(guò)程（1）22解答過(guò)程（2）23解答過(guò)程（3）24第四節(jié)分層比率估計(jì)與分層回歸估計(jì)一、分別比率估計(jì)與聯(lián)合比率估計(jì)(一)分別比率估計(jì)25(二)聯(lián)合比率估計(jì)26二分別回歸估計(jì)與聯(lián)合回歸估計(jì)（一）分別回歸估計(jì)27（二）聯(lián)合回歸估計(jì)28三、各種估計(jì)量的比較對(duì)分層隨機(jī)抽

8、樣在有輔助變量可利用時(shí)，為提高估計(jì)精度可以采用分別比率估計(jì)、聯(lián)合比率估計(jì)、分別回歸估計(jì)、聯(lián)合回歸估計(jì)等多種形式的估計(jì)量，因此自然存在一個(gè)問(wèn)題，即如何對(duì)這些估計(jì)量進(jìn)行比較。由以上各種估計(jì)量的構(gòu)造可以知道，分別比率估計(jì)和分別回歸估計(jì)必須使用總體各層的輔助變量均值或總值的信息，而聯(lián)合比率估計(jì)和聯(lián)合回歸估計(jì)不要求使用總體各層的輔助變量信息，只要求使用總體的輔助變量均值或總值X的信息，分別估計(jì)量比聯(lián)合估計(jì)量對(duì)總體信息的使用更詳細(xì)一些，因此，當(dāng)各層樣本量都比較大時(shí)，分別比率估計(jì)精