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《高考遞推數(shù)列通項公式的題型探究》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、高考遞推數(shù)列通項公式的題型探究2008-9-28數(shù)列知識是高考考察的重點和熱點,高考數(shù)列試題是以等差、等比數(shù)列知識為主干，經(jīng)過幾次變換構(gòu)造成新的等差等比數(shù)列，下面就高考中常出現(xiàn)的幾種數(shù)列類型做以簡要探究。類型一：周期數(shù)列如果數(shù)列滿足：存在正整數(shù)M、T，使得對一切大于M的自然數(shù)n，都有成立，則數(shù)列為周期數(shù)列。例1:已知數(shù)列滿足，，求。解:=－,從而1－,即數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列。又，,所以變形:數(shù)列滿足,且,求.(聯(lián)想函數(shù)的對稱性與周期性).練習(xí)1:數(shù)列滿足,且,求.練習(xí)2:數(shù)列滿足,且,求.（聯(lián)想函數(shù)的
2、周期性:）練習(xí)3:已知數(shù)列滿足，求；類型二：形如的遞推數(shù)列：可化為－,此時數(shù)列是以p為公比，為首項的等比數(shù)列，從而可求。11例2:已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；解析：即是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。即 練習(xí)1:數(shù)列滿足,且,求.練習(xí)2:數(shù)列滿足,且,求類型三：形如的遞推數(shù)列,可用累加求和相消法求。例3:已知數(shù)列滿足（）,(1)求；(2)證明：.解析：(1).(2)證明：,……將以上等式兩邊分別相加，并整理得:.練習(xí)1:數(shù)列滿足,且,求練習(xí)2:數(shù)列滿足,且,求練習(xí)3:在數(shù)列{}中，,，求通項公式.類型四：
3、形如的遞推數(shù)列，可用累積相消法求。例4:已知數(shù)列滿足,，求通項。解：;11;…兩邊相乘并整理得：練習(xí)1:數(shù)列滿足,且,求練習(xí)2:數(shù)列滿足,且,求練習(xí)3:設(shè)數(shù)列{}是首項為1的正項數(shù)列，且（n=1,2,3…），則它的通項公式是=▁▁▁（2000年高考15題）.（分解因式）練習(xí)4:已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。類型五：形如的遞推數(shù)列，可用兩邊同除以得，令，則，仿照類型三求出之后，再求出.例5:設(shè)有數(shù)列:,＋，求.解：＋＋2,令，則，即是以2為公差，為首項的等差數(shù)列，故有，從而，即***數(shù)列滿足,求解:構(gòu)建數(shù)列為
4、等差數(shù)列.練習(xí)1:數(shù)列滿足,且,求練習(xí)2:數(shù)列滿足,且,求11注意:(的形式變化一定是為能構(gòu)建基本數(shù)列服務(wù)的.)類型六：形如的遞推數(shù)列，則其通項an的求法如下：（1）寫出遞推式所對應(yīng)的特征方程；（2）解特征方程得到兩個根；(3)如果，則可設(shè)；如果，則可設(shè)；（4）由初始值,求出或。例6:已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；解析：（I）證明：所對應(yīng)的特征方程是令解得，，設(shè)（、）由得從而是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。（II）解：由（I）得練習(xí)1:數(shù)列滿足,且,求練習(xí)2:數(shù)列滿足,且
5、,求練習(xí)3:數(shù)列滿足,且,求類型七：形如型的遞歸數(shù)列，可用對數(shù)代換法求。例7:設(shè)數(shù)列滿足，求.解：由可知，所以兩邊取對數(shù)，得，令，則，化為，即是以2為公比，為首項的等比數(shù)列，從而有：即。練習(xí)1:數(shù)列滿足,且,求練習(xí)2:數(shù)列滿足,且,求11類型八：形如(,)型的通項公式的求法：(1)寫出遞推式所對應(yīng)的特征方程；（2）解特征方程得到兩個根；（3）如果，則數(shù)列｛｝是等比數(shù)列；如果x1=x2，則數(shù)列｛｝是等差數(shù)列；（4）由等比數(shù)列或等差數(shù)列的通項公式求例8:（08全國II卷理科）設(shè)數(shù)列的前項和為，且方程有一根為（I
6、）求（II）求的通項公式解析：由方程有一根為得a1=。即，，所對應(yīng)的特征方程。令，解得是以為首項，－1為公差的等差數(shù)列，故，從而（I），（II）由得練習(xí)1:數(shù)列滿足,且,求練習(xí)2:數(shù)列滿足,且,求11類型九：遞推關(guān)系形如的數(shù)列例9:已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式解析：因為，顯然既不是等比數(shù)列又不是等差數(shù)列若將遞推關(guān)系進行適當?shù)淖冃螢椋?，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列，其首項為、公比為，所以有從而有對一般情況：，如果不能直接轉(zhuǎn)化變出來類似例1中的形式，也可以設(shè)變形后的形式為。展開后得到：。利用待定系數(shù)法可得：
7、再將x、y、z代入就可以得到最終的變式。練習(xí)1（09海南）:數(shù)列滿足,且,⑴求證數(shù)列{}為等比數(shù)列，⑵求數(shù)列的前項和；類型十：遞推關(guān)系形如的數(shù)列例10:已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式解析：因為，顯然既不是等比數(shù)列又不是等差數(shù)列若將遞推關(guān)系進行適當?shù)淖冃螢椋?，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列，其首項為、公比為，所以有從而有例11:已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式11解析：本題的條件與例3類似，不同之處就是：例3中的系數(shù)是4與后面一項的底數(shù)2不相等，而本例中的系數(shù)是5與后面一項的底數(shù)5相等因為，顯然既不是等比數(shù)列
8、又不是等差數(shù)列若將遞推關(guān)系進行適當?shù)淖冃螢椋?，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列，其首項為、公比為，所以有從而有對一般情況：，同樣可以利用類型一和類型二的方式，用待定系數(shù)的方法得到變形式?？v觀以上十種類型的處理過程實際就是構(gòu)建等差等比數(shù)列的過程,所以熟練的掌握等差等比數(shù)列的性質(zhì)是解決此類問題的核心,’待定系數(shù)法’是解決此類問題中的重要且有效辦法.類型十一：取對數(shù)法例12:若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公
