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《《極值與凹凸性》PPT課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、3.4極值與凹凸性3.4.1函數(shù)的極值定義3.1的一個(gè)極大值(或極小值),如果在x0的函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn).設(shè)在x0附近有定義,某個(gè)空心鄰域內(nèi),恒有注意:極值的概念是一個(gè)局部性的概念,它僅涉及函數(shù)在一點(diǎn)附近的性質(zhì).定理3.4(極值的必要條件)注意:可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn),例如,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).則必有設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),且在處取得極值,的駐點(diǎn).另外:連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是極值點(diǎn).例如,設(shè)函數(shù)在x0處連續(xù),定理3.5(極值的第一充分條件)在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo),則(1)如果有而有則在處取得極大值;(2)如果有而有則在處取
2、得極小值;(3)如果當(dāng)及時(shí),符號(hào)相同,則在處無(wú)極值.是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形求函數(shù)極值的基本步驟:(3)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,得到相應(yīng)的極值.(1)求出的所有可能的極值點(diǎn),即的不可導(dǎo)的點(diǎn)和的點(diǎn);(2)對(duì)(1)中求得的每個(gè)點(diǎn),根據(jù)在其左、右是否變號(hào),確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn).如果是極值點(diǎn),進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);例1求函數(shù)的極值.解極大值極小值函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).導(dǎo)數(shù)不存在;不存在無(wú)極值不存在定理3.6(極值的第二充分條件)注意:則設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù),且(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值.此時(shí)仍需用定理3.5.極大值極小值解定義域?yàn)槔?
3、求函數(shù)的極值.圖形上任意弧段位于所張弦的上方3.4.2曲線的凹凸性及拐點(diǎn)問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的下方恒有設(shè)在區(qū)間I上連續(xù),定義3.2如果恒有如果定理3.7解定義3.3連續(xù)曲線上凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).例3判斷曲線的凹凸性.定理3.8(拐點(diǎn)的第一充分條件)設(shè)函數(shù)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在空心鄰域內(nèi)存在,(1)(2)定理3.9(拐點(diǎn)的第二充分條件)曲線的拐點(diǎn).解凹的凸的凹的拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)例4求曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).不存在例5證明證所以曲線在上是嚴(yán)格向下凸的.有即性質(zhì)有則其中證例6證明當(dāng)設(shè)則即1.鉛直漸近線(垂直于x軸的
4、漸近線)3.4.3函數(shù)圖形的描繪一條漸近線.移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí),如果點(diǎn)P到某定直線L的距離趨向于零,如果例如有兩條鉛直漸近線:2.水平漸近線(平行于x軸的漸近線)例如有兩條水平漸近線:如果3.斜漸近線斜漸近線求法如果或若且注意:解如果定義域?yàn)槔?求的漸近線.不存在;不存在;可以斷定不存在斜漸近線.所以,是曲線的鉛直漸近線.所以,是曲線的一條斜漸近線.(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點(diǎn)、奇偶性和周期性.和拐點(diǎn).(2)確定曲線的漸近線,把握函數(shù)的變化趨勢(shì).確定曲線的凹凸性(4)適當(dāng)計(jì)算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo),如極值,拐點(diǎn)的坐標(biāo),注意曲線是否與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn).函數(shù)作圖的具體步驟可歸納如下:(
5、3)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值,例8描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域?yàn)樗綕u近線:不存在拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn)無(wú)斜漸近線.列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):鉛直漸近線作圖拐點(diǎn)極小值補(bǔ)充點(diǎn)不存在拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn)水平漸近線:垂直漸近線:
