分布參數(shù)系統(tǒng)的建模與仿真.ppt

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1、第5章分布參數(shù)系統(tǒng)的建模與仿真陳無(wú)畏合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院系統(tǒng)建模與仿真5.1分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述定義：系統(tǒng)的狀態(tài)變量、控制變量和被控變量不僅僅是時(shí)間的函數(shù)，而且是空間坐標(biāo)的函數(shù)。表示及描述方法：系統(tǒng)的模型表示為偏微分方程、積分方程或是偏微分—積分方程，通常使用偏微分方程來(lái)描述系統(tǒng)。5.1分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述(續(xù)）對(duì)于確定型的偏微分方程，采用一階描述形式，可以用以下表達(dá)式(5.1)(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)現(xiàn)對(duì)上述表達(dá)式中的有關(guān)符號(hào)說(shuō)明如下5.1分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（續(xù)）(1)自變量：常微分方程中自變

2、量只有時(shí)間變量t，而在偏微分方程中，其自變量除了時(shí)間外，還有空間自變量；(2)輸入變量及輸入段集合：映射；(3)因變量：，且是z與t的函數(shù)；5.1分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（續(xù)）(4)式(5.2)確定邊界條件，表示Z的邊界，在上隨時(shí)間變化滿足該等式；(5)式(5.3)表示初始條件，即規(guī)定初始時(shí)刻在域內(nèi)的值；(6)輸出變量是空間和時(shí)間的函數(shù)；(7)式(5.5)規(guī)定了約束條件。5.1分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（續(xù)）當(dāng)然，在某些情況下，系統(tǒng)是以高階偏微分方程的形式給出。一般說(shuō)來(lái)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換，高階偏微分方程可以轉(zhuǎn)換成一階偏微分方程組。5.1分

3、布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（續(xù)）偏微分方程的典型形式橢圓方程拋物方程雙曲方程5.1分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（續(xù)）(1)雙曲方程典型的有對(duì)流方程(5.6)波動(dòng)方程(5.7)(2)拋物方程典型的有擴(kuò)散方程(5.8)對(duì)流-擴(kuò)散方程(5.9)(3)橢圓方程典型的有泊松方程(5.10)5.1.2分布參數(shù)系統(tǒng)模型的數(shù)學(xué)特征分布特性：從動(dòng)力學(xué)特性看，集中參數(shù)系統(tǒng)的解算子形成一個(gè)群，而分布參數(shù)系統(tǒng)的解算子一般只有半群的性質(zhì)；從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)看，集中參數(shù)系統(tǒng)只有集中控制和集中測(cè)量，而分布參數(shù)系統(tǒng)有分布控制和分布測(cè)量、點(diǎn)控制和點(diǎn)測(cè)量、邊界控制和邊界測(cè)量。5.1.

4、3分布參數(shù)模型的有限差分法有限差分是對(duì)偏微分方程進(jìn)行數(shù)值分析的近似方法。常用方法之一就是中心差分法。假設(shè)，當(dāng)t=常值時(shí)，如圖5-1所示為一連續(xù)曲線按照中心差分法，點(diǎn)的斜率可用下式表示5.1.3分布參數(shù)模型的有限差分法（續(xù)）(5.11)圖5-1有限差分定義5.1.3分布參數(shù)模型的有限差分法（續(xù)）對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)也可采用同樣的方法得到，于是可得以下偏導(dǎo)數(shù)表示式5.1.3分布參數(shù)模型的有限差分法（續(xù)）為了計(jì)算方便，可以用一張二維網(wǎng)格圖來(lái)表示，如圖5-2所示。圖5-2二維網(wǎng)格圖5.1.4有限元法基本思想：把邊界問(wèn)題化為變分問(wèn)題，對(duì)求解區(qū)域做

5、剖分，使成為有限個(gè)“單元”的和，在每一個(gè)單元上作未知函數(shù)的某種多項(xiàng)式插值，使它們?cè)谙噜弳卧墓策吔缟蠞M足某種連續(xù)性條件，以保證用這種分片插值函數(shù)組成的有限維數(shù)空間SN是未知函數(shù)解空間V的子空間。5.1.4有限元法（續(xù)）一種常采用的三角形單元如圖5-3所示。顯見(jiàn)，有限元法不用網(wǎng)點(diǎn)陣列，而用許多相互連接的小子區(qū)域或單元來(lái)表示所研究的介質(zhì)。5.1.4有限元法（續(xù)）圖5-3有限元離散化5.1.5區(qū)域分解算法基本思想：把計(jì)算區(qū)域分解為若干子域，子域的形狀盡可能規(guī)則，于是原問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為在子域上的求解。5.1分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述優(yōu)點(diǎn)：

6、(1)它把大問(wèn)題化為若干個(gè)小問(wèn)題，縮小了計(jì)算規(guī)模；(2)子區(qū)域形狀規(guī)則（如長(zhǎng)方形等），其上或者允許使用熟知的快速算法，或者已經(jīng)有解這類規(guī)則問(wèn)題的高效軟件；5.1.5區(qū)域分解算法（續(xù)）(3)允許使用局部擬一致網(wǎng)格，無(wú)需使用整體擬一致網(wǎng)格，甚至各子域可以用不同的離散方法進(jìn)行計(jì)算；(4)允許在不同子域選用不同的數(shù)學(xué)模型，以便整體模型更適合于工程物理實(shí)際情況；5.1.5區(qū)域分解算法（續(xù)）(5)算法是高度并行的，即計(jì)算的主要步驟是在各子域內(nèi)獨(dú)立進(jìn)行；(6)對(duì)于對(duì)稱區(qū)域問(wèn)題有更簡(jiǎn)單的區(qū)域分解算法。5.2典型的分布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例例扭振桿系統(tǒng)如圖

7、5-4所示的扭振桿系統(tǒng)圖5-4扭振桿系統(tǒng)5.2典型的分布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例（續(xù)）對(duì)于厚度為的一段扭桿，可用牛頓定律得到把和聯(lián)系起來(lái)的微分方程。由材料力學(xué)得知，桿的上半段在任意時(shí)刻t作用在上面的彈性力矩為(5.14)5.2典型的分布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例（續(xù)）式中，是圓截面的極慣性矩，G是材料的剪切彈性模量。在同一時(shí)間，因?yàn)門是位置y的函數(shù)，故桿的下半段作用在單元下平面的力矩是5.2典型的分布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例（續(xù)）(5.15)(5.16)由牛頓定律得這個(gè)偏微分方程就是：一維波動(dòng)方程。5.2典型的分布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例（續(xù)）解析法1有限差分法25.2典型的分

8、布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例（續(xù)）用解析法求解方程(5.16)。取所有的初始條件為零，于是得到為求出處角運(yùn)動(dòng)的頻率響應(yīng)，令1.解析法(5.25)5.2典型的分布參數(shù)系統(tǒng)實(shí)例（續(xù)）如圖5-5所示，其頻率響應(yīng)存在無(wú)限多個(gè)固有頻率，其數(shù)值可由下式算出圖5-5扭振模型的頻率響應(yīng)5.2