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1、第13卷第4期2015年8月動力學(xué)與控制學(xué)報Vol.13No.416726553/2015/13⑷/2835JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROLAug.2015復(fù)模態(tài)分析超臨界軸向運動梁橫向非線性振動111,2張國策丁虎陳立群(1.上海大學(xué),上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072)(2.上海大學(xué)力學(xué)系,上海200444)摘要近似解析研究了簡支邊界條件下超臨界軸向運動梁橫向非線性自由振動的固有頻率和模態(tài)函數(shù).采用復(fù)模態(tài)方法處理控制方程,一個積分偏微分方程.將Galerkin截斷思想用于近似處理線性化方程,一個
2、含空間依賴系數(shù)的常微分方程.給出了不同截斷項數(shù)對固有頻率的影響.基于8項截斷,討論了系統(tǒng)參數(shù)對模態(tài)函數(shù)的影響.關(guān)鍵詞軸向運動梁,非線性,超臨界速度,模態(tài),頻率DOI:10.6052/167265532015030于積分偏微分模型,采用復(fù)模態(tài)方法分離變量,將引言Galerkin截斷思想用于計算簡支邊界條件下超臨動力傳送帶、帶鋸、空中纜車索道、高樓升降機界軸向運動梁橫向自由振動的近似固有頻率及相纜繩、單索架空索道等工程元件,均可模型化為軸應(yīng)的模態(tài)函數(shù),并研究軸向速度、非線性系數(shù)和彎[1,2,3]向運動梁或弦線.其橫向振動的研究有著重曲剛
3、度對模態(tài)函數(shù)的影響.要的理論意義和應(yīng)用價值.關(guān)于軸向運動系統(tǒng)固有1近似解析結(jié)果頻率和模態(tài)函數(shù)的研究已經(jīng)非常廣泛.Mote于1965年運用Galerkin截斷法近似計算了兩端簡支考慮一個均勻黏彈性矩形梁,密度為ρ,橫截[4]邊界下,前三階固有頻率及相應(yīng)的模態(tài).1992面積為A,彈性模量為E,慣性矩為I,初始張力為年,Wickert研究了兩端簡支邊界下,軸向運動梁橫P0.該梁在支承兩端間距為L的長度上以一致的軸[5]向非線性振動的基頻.2001年,?z給出了兩端固向傳輸速度Г運動.不考慮軸向位移,梁在平面內(nèi)定邊界下軸向運動梁橫向振動的前兩階固
4、有頻率只有橫向位移為V(X,T)的彎曲振動.這里T為時[6]和模態(tài)函數(shù).2006年,李曉軍和陳立群研究了一間,X為軸向坐標(biāo).在準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力假設(shè)下,超臨界軸[7][5,11-14]端固定、一端簡支的情形.2009年,李彪等通過向運動梁積分偏微分模型的無量綱方程為222半解析半數(shù)值方法求解了兩端鉸支的非對稱混雜v,tt+2γv,xt+πkfv,xx+kfv,xxxx+1邊界下軸向運動Timoshenko梁的固有頻率和模224態(tài)[8].2010年,Chen等給出了簡支邊界下Timoshk1ASπsin(πx)∫[vsin(πx)]dx=0[9]
5、11enko梁模型固有頻率的復(fù)模態(tài)分析方法.2010222k12k1ASπ2年,Ghayesh和Balar通過半解析半數(shù)值方法研究2v,xx∫v,xdx-2sin(πx)∫v,xdx+00了固定邊界下軸向運動Timoshenko梁橫向振動的122固有頻率[10].k1ASπv,xx∫[vsin(πx)]dx(1)0在超臨界傳輸速度范圍內(nèi),陳立群課題組數(shù)值簡支邊界條件為[11,12]研究了軸向運動梁的橫向靜平衡位形、固有v(0,t)=v,xx(0,t)=v(1,t)=v,xx(1,t)=0(2)[13,14][15]頻率和簡諧受迫振動的穩(wěn)態(tài)
6、響應(yīng).本文基式中,無量綱參數(shù)為20131124收到第1稿,20150508收到修改稿.國家自然科學(xué)基金資助項目(11232009,11372171和11422214),上海市教育委員會科研創(chuàng)新項目(12YZ028)和上海市青年科技啟明星計劃(11QA1402300)通訊作者Email:dinghu3@shu.edu.cn284動力學(xué)與控制學(xué)報2015年第13卷TP0ρAEIEA數(shù)和軸向速度有關(guān),而與非線性系數(shù)無關(guān).因此,對t=,γ=Γ,kf=2,k1=,L槡ρA槡P0槡P0L槡P0于超臨界速度范圍內(nèi)軸向運動梁的微幅振動,非線
7、X2222V性系數(shù)對固有頻率沒有影響.這一結(jié)論與參考文獻x=L,AS=槡γ-1-πkf,v=L-ASsin(πx)πk1[13,14]一致.對于已求得的系統(tǒng)任意階固有頻(3)率,即可求出相應(yīng)的模態(tài)函數(shù).在微幅振動時,忽略式(1)中的高階非線性項?。疙椊財啵ǎ危剑福槔?,考慮軸向速度γ=4.0,可得剛度系數(shù)kf=0.8,非線性系數(shù)k1=100,則可由式222v,tt+2γv,xt+πkfv,xx+kfv,xxxx+(11)求得前兩階固有頻率分別為ω1=9.9181,ω21224=29.9272.從而可知前兩階模態(tài)函數(shù)實部和虛部k1ASπsi
8、n(πx)∫[vsin(πx)]dx=0(4)0分別為[5]方程(4)的解可以寫作Re[φ1(x)]=sin(πx)+0.0291sin(3πx)+?iωnt-iωntv(x,t)=φn(x)