2010水木艾迪高數(shù)強化班講義-10.pdf

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1、第10講曲線積分與曲面積分(一)考綱要求:ò考試內(nèi)容1．兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算兩類曲線積分的關(guān)系,格林（Green）公式.2．平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件已知全微分求原函數(shù).3．兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算兩類曲面積分的關(guān)系高斯（Gauss）公式,斯托克斯（Stoke）公式4．散度、旋度的概念及計算曲線積分和曲面積分的應(yīng)用.ò考試要求1．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2．掌握計算兩類曲線積分的方法。3．掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。4．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的

2、關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，5．用高斯公式、斯托克斯公式計算曲面、曲線積分。6．了解散度與旋度的概念，并會計算。(二)內(nèi)容提要:1．第一、第二類曲線的定義、背景與性質(zhì)。é3ò第一類曲線積分：設(shè)弧段AB(記作L)是R中的一條逐段光滑的曲線,函數(shù)f(x,y,z)定義在L上.把L任意地分成n個子弧段,PPè,i=1,2,?,n,P=A,P=B,每一段子弧段的弧長分別i?1i0n為Δl,在每一子弧段上分別任取一點Q(ξ,η,?),作Riemann和iiiiin∑f(ξi,ηi,?i)Δli,記λ=max{}Δl1,Δl2,?,Δln.如果當(dāng)λ→0i=1時,上述Riem

3、ann和的極限存在,且該極限值與子弧段的分法和點的譚澤光1é取法無關(guān),則稱該極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲線AB(L)上的第一類曲線積分,記作n∫∫?f(,,)xyzdl==fxyzdl(,,)lim∑f(,,)ξη?iiiiΔlABLλ→0i=1f(x,y,z)為被積函數(shù),éAB(L)為積分路徑,dl為弧微分,dl>0.ò第二類曲線積分:向量函數(shù)dFxyz(,,)((,,),(,,),(,,))=XxyzYxyzZxyz3é定義在空間區(qū)域Ω?R中的一條逐段光滑的有向弧段AB(記作L)dd∩上.L的方程為rrtxtytzt=()((),(),())=.把有向弧段AB

4、從Aè到B任意地分成n個子有向弧段,PP,i=1,2,?,n,i?1idggggghP=A,P=B,記Δ=lPPxyz=ΔΔΔ(,,).在每一段子有向0niii?1iii弧段上分別任取一點Q(ξ,η,?)(參數(shù)為t),作Riemann和iiiiinddddd∑F(,,)ξη?iii?Δli再記λ=Δmax{ll12,ΔΔ,?,ln}.i=1如果當(dāng)λ→0時,上述Riemann和的極限存在,且該極限值與子弧段d的分法和點的取法無關(guān),則稱該極限為函數(shù)F(,,)xyz在有向曲線∩AB(L)上從A到B的第二類曲線積分,記作BBdd∫∫F(,,)xyzdl?=XxyzdxYxy

5、zdyZxyzdz(,,)+(,,)+(,,)LA()LA()n=Δlim∑[]X(,,)ξη?iiiixY+(,,)ξη?iiiiΔyZ+(,,)ξη?iiiiΔzλ→0i=1d∩函數(shù)F(,,)xyz為被積函數(shù),有向曲線AB(L)為有向積分路徑,ddl為有向弧微分:d在空間:dl=(,,)dxdydz;d在平面上,dl=(,)dxdy.譚澤光22．兩類曲線積分之間的關(guān)系d∫((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyzdl?=+Ld=?∫()((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyzτ0dlL3．第二類曲線的幾種表達式∫X(,,)xyzdx

6、YxyzdyZxyzdz++(,,)(,,)+Ld=?∫((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyzdl+Ld=?∫()((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyzτ0dlL4．第一類曲線積分的計算?x=x(t)?設(shè)曲線L的參數(shù)方程為?y=y(t)t∈[]α,β??z=z(t)又設(shè)f(x,y,z)在曲線L上連續(xù),則弧長微分[][][]222dl=x′(t)+y′(t)+z′(t)dt,第一類曲線積分可按下式計算：β∫∫[][][]222f(x,y,z)dl=f(x(t),y(t),z(t))x′(t)+y′(t)+z′(t)dtLα平面曲線積

7、分計算，弧長微分的三種表式：2òLyyx:(=)時,dl=1+[]y′dxx?x=xt()22òL:?時,dl=[][]x′(t)+y′(t)dt，?y=yt()22òL:(ρ=ρ?)時,dl=[][]ρ(?)+ρ′(?)d?5．第二類曲線積分的計算ddT若L的方程為rrtxtytzt==()((),(),()),起始點A與終止點B對dddd應(yīng)的參數(shù)分別為t=α與t=β,弧微分向量dl=++dxidyjdzj向量值函數(shù)ddddFxyz(,,)=++XxyziYxyzjZxyzj(,,)(,,)(,,),譚澤光3在區(qū)域Ω(L?Ω)內(nèi)連續(xù),則第二類曲線積分ddB∫∫