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1、一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,又被稱為有限增量定理,是微積分中的一個基本定理。拉格朗日中值公式的形式其實就是泰勒公式的一階展開式的形式。在現(xiàn)實應(yīng)用當(dāng)中,拉格朗日中值定有著很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理當(dāng)中使用最為普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和發(fā)展過程都顯示出了數(shù)學(xué)當(dāng)中的一個定理的發(fā)展是一個推翻陳舊,出現(xiàn)創(chuàng)新的一個進程。發(fā)現(xiàn)一些新的簡單的定理去替代舊的復(fù)雜的定理,就是由初級走向高級。用現(xiàn)代的語言來描述,在一個自變量x從x變?yōu)閤+1的過程中,如果函數(shù)f(x)本身就是一個極限值,那么函數(shù)f(x+1)的值也應(yīng)該是一個極
2、限值,其值就應(yīng)該和f(x)的值近似相等,即f(x+1)?f(x)≈01這就是非常著名的費馬定律,當(dāng)一個函數(shù)f(x)在x=a處可以取得極值,并且函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù),則f'x=0。著名學(xué)者費馬再給出上述定理時,此時的微積分研究理論正處于初始階段,并沒有很成熟的概念,沒有對函數(shù)是否連續(xù)或者可導(dǎo)作出限制,因此在現(xiàn)代微積分理論成熟階段這種說法就顯得有些漏洞。在所有的微分中值定理中,最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和現(xiàn)在成熟的拉格朗日中值定理是不一樣的,最初的定理是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)任取兩點x0和x1,并且函數(shù)fx在此閉
3、區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的,''f(x1)?f(x0)f(x)的最大值為A,fx最小值為B,則的值必須是A和B之間的一個值。x1?x0這是拉格朗日定理最初的證明。下述就是拉格朗日中值定理所要求滿足的條件。如果存在一個函數(shù)滿足下面兩個條件,(1)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)函數(shù)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);那么這個函數(shù)在此開區(qū)間內(nèi)至少存在著f(b)?f(a)一點,使得f'ξ=.b?a拉格朗日中值定理是導(dǎo)數(shù)的一個延伸概念,在導(dǎo)數(shù)運算中是的很基本概念。例1:函數(shù)fx=2x2?8,即f'x=4x。當(dāng)x在開區(qū)間0,+∞時,有f'x>0,fx在開區(qū)間0,+∞
4、單調(diào)遞增;當(dāng)x在開區(qū)間?∞,0時,有f'x<0,f(x)在開區(qū)間?∞,0單調(diào)遞減。在x=0,有f'(0)=0,f0=?8。由上述例子說明,想要確定一個函數(shù)的單調(diào)性可以通過求得這個函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來求得判斷單調(diào)區(qū)間。當(dāng)一個函數(shù)在某個確定的區(qū)間內(nèi),存在著f'x>0,fx在這個確定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;f'x<0,fx在這個確定的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的。在f'(0)=0時,那么這一點就是這個函數(shù)的極值點。在例1中,f3?f(1)'當(dāng)1
5、連續(xù),一個是在相同期間開區(qū)間可導(dǎo),不滿足這兩個條件,拉格朗日中值定理在此種情況下是沒有意義的。1例2:函數(shù)fx=,這個函數(shù)的區(qū)間[0,2]。x?1可以看出這個函數(shù)在區(qū)間[0,2]上是不連續(xù)的,f1這個值是不存在的,因此這個函數(shù)在此區(qū)間上面是不連續(xù)的。這個函數(shù)在此閉區(qū)間[0,2]上是不可導(dǎo)的,根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的計算方法可以得到1f2?f(0)f'x=?==1(x?1)22?01又?=1,這種情況下x的值是不存在的,所以這個函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是(x?1)2不可導(dǎo)的。二拉格朗日中值定理的證明在微積分相關(guān)知識的教材上面,一般情況下在證明拉格朗日中值定理時,經(jīng)
6、常采用羅爾定理來證明,證明過程中根據(jù)題意構(gòu)建出一個輔助函數(shù)來證明定理。在歷史長河中,學(xué)者們在對拉格朗日中值定理進行證明的時候最主要的的有四種方法。最開始的一種證明方法出現(xiàn)在著作名為《解析函數(shù)論》一書中。這個證明相對來說是比較直觀的,它是以這樣一個概念為基礎(chǔ)證明的:當(dāng)導(dǎo)數(shù)f'x>0時,fx在一個固定區(qū)間內(nèi)就是單調(diào)遞增的;反之,則單調(diào)遞減。利用微積分中的求導(dǎo)方法去確定一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法。并且,此時對拉格朗日定理應(yīng)用要求在一個閉區(qū)間中是連續(xù)的,也要求在此相同閉區(qū)間可導(dǎo)。假設(shè)一個變量在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的變化,那么這個變量相應(yīng)的函數(shù)也會隨著變化的變化而
7、發(fā)生變化,有無數(shù)的中間值在兩個值之間。在19世紀(jì)初時,微積分發(fā)生了很大的變化,柯西等數(shù)學(xué)家在此做出了很大的貢獻,人們對函數(shù)進行了很嚴格的定義,極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)。在此基礎(chǔ)上又給拉格朗日中值定理提出了新的嚴謹?shù)淖C明。在19世紀(jì)初,學(xué)者們對于微分學(xué)的系統(tǒng)性定理的詳細研究就拉開了序幕。因為拉格朗日中值定理在微分學(xué)中有著相當(dāng)重要的地位,所以,歷來學(xué)者們都對拉格朗日中值定理的研究十分重視,學(xué)者們對拉格朗日中值定理的相關(guān)研究也是非常多的。比如在歷史上,許多學(xué)者都提出了對于拉格朗日中值定理的證明的方法。在歷史長河中,學(xué)者們提出的關(guān)于拉格朗日中值定理的證明方式
8、主要有四種方式。第一種方式,通過利用羅爾定理去構(gòu)建一個中間函數(shù)去證明。第二種方式,根據(jù)先決條件,去建立一個相對更加廣泛的中值定理,然后在縮小范圍去證明。第三種形式,