幾類未定式的k階無窮小替換-論文.pdf

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1、第9卷第2期北京教育學(xué)院學(xué)報Vo1．9No．22014年6月JOURNALOFBEHINGINSTITUTEOFEDUCATIONJtn．2014幾類未定式的k階無窮小替換顧艷紅羅寶華張桂芳(北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，北京，100083)摘要：應(yīng)用極限的運算法則及等價無窮小替換定理，對幾類冪指型及有關(guān)的未定式，把其中的無窮小用其k階無窮小替換后，得到了未定式極限的變化規(guī)律，最后應(yīng)用所得結(jié)論解決了幾個未定式求極限問題．關(guān)鍵詞：未定式；極限；．j}階無窮小中圖分類號：0171文獻標識碼：A文章編號：1673—6923(2014)02—0001一o5O引言對于型的未定式，對其中的無窮小因式

2、用其等價無窮小替換后，極限保持不變，這是罟型未定式求極限的一種常用方法。在一定的條件下，一些其它形式的未定式中的無窮小用其等價無窮小替換后極限也保持不變，參考文獻s對此做了探詩．本文主要討論在幾類冪指型及有關(guān)的未定式中，把其中的無窮小用其k階無窮小替換后引起未定式極限的變化規(guī)律，推廣了參考文獻[1]中的相關(guān)結(jié)論，并介紹了理論的應(yīng)用。定義0．1E當一。時，廠()，g()均為無窮小，如果lim=c≠0，>0，就稱當一—0g。時，)是關(guān)于g()的階無窮??；如果0茜，=1，就稱當戈。時，)與g()是等價無窮小，記作)～g()．引理O．1(等價無窮小替換定理)設(shè)在自變量的同一變化過程中，～，，

3、盧一盧Klim／T，存在，則lim旦：lim．引理o．2設(shè)函數(shù))，()在(‰)有定義，且滿足以下條件：·收稿日期：2014-03—28基金項目：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助YX2013—32；北京林業(yè)大學(xué)“近世代數(shù)”課程建設(shè)項目。+·作者簡介：顧艷紅(1975一)，女，湖南湘陰縣人，北京林業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授。羅寶華(1972一)，女，湖南新化縣人，北京林業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系講師。張桂芳(1973一)，女，陜西旬陽縣人，北京林業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授。北京教育學(xué)院學(xué)報①X∈U(x0)時，戈)，g(x)>0；②當時，)，g()均為無窮小，且)是關(guān)于g()的k階無窮小(>0)，則11，、—lnf(

4、—x)—king—(x)(。)‘證明由已知條件有l(wèi)—imog未：c≠0，故l妒imolngL未戈：lnc，從而上1n+lng()‘，，、，lim一。工king(x)==÷：豢+，所以i南～0)．引理o．3設(shè)函數(shù))，g()在(。)有定義，當。時，，()，g()均為無窮小，且)是關(guān)于g()的k階無窮小(后>0)，則當。時，In[1+)]是關(guān)于In[1+g()]的k階無窮小．證明當時，In[1+)]～)，In[1+g()]一g()，Y-Eh已知條件有l(wèi)ira=c≠0，—0g根據(jù)引理。．1，得?！?limgf(x)i：c，結(jié)論成立．1主要結(jié)論定理1．1設(shè)函數(shù)X)，g(x)，()，()在(。)

5、有定義，且滿足以下條件：①當_+。時，)，g(x)均為無窮小，且，()是關(guān)于g(x)的k。階無窮小(kt>0)；②當。時，()，()均為無窮小，()是關(guān)于()的k：階無窮小(>o)，且辯一：(1)設(shè)∈U()時，，(戈)，g()>0，且lim~b(x)lng(x)=A，則當k2>1時，limqfx)l)=0；當k2=1時，lim~(x)lnf()=c2klA；當00，且limg(x)‘’=A，則當k2>1時，limf(x)‘=1；顧艷紅羅寶華張桂芳：幾類未定式的k階無窮小替換當k2=

6、1時，則limf~)=A；—。當00，且lim[]’=，則x--~0gLJ當z>塒，[志=1；當k2=塒，則[志=；當01時，lim[~b(x)k-1=0，因此limq~(x)lI)=O當2=1時，limq~(x)lnf(x)=c2klA；當0

7、[()]=∞，又由于limC,(x)lng(x)=A≠0，所以liI(x)Inf()=a。．x-~0。綜上可知，結(jié)論(1)成立．(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限運算法則，有l(wèi)img(x)‘’=elira‘增‘。limf(x)()=er'~qfx)lnf(x)．由定理1．1(1)即得k2≥1時的結(jié)論；當00，[()]=+∞，由定理1·1(1)證明中的()式可知limtp()Inf()=一∞，所以—。limf