高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀講義微專題52 證明等差等比數(shù)列.doc

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1、微專題52等差等比數(shù)列的證明在數(shù)列的解答題中，有時第一問會要求證明某個數(shù)列是等差等比數(shù)列，既考察了學(xué)生證明數(shù)列的能力，同時也為后面的問題做好鋪墊。一、基礎(chǔ)知識：1、如何判斷一個數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列（1）定義法（遞推公式）：（等差），（等比）（2）通項公式：（等差），（等比）（3）前項和：（等差），（等比）（4）等差（等比）中項：數(shù)列從第二項開始，每一項均為前后兩項的等差（等比）中項2、如何證明一個數(shù)列是等差等比數(shù)列：（1）通常利用定義法，尋找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中項來進(jìn)行證明，即，均有：（等差）（等比）二、典型例題：例1：已知數(shù)列的首項．求證：數(shù)列為等比數(shù)列思路一：構(gòu)造

2、法，按照所給的形式對已知遞推公式進(jìn)行構(gòu)造，觀察發(fā)現(xiàn)所證的數(shù)列存在這樣的倒數(shù)，所以考慮遞推公式兩邊同取倒數(shù)：即，在考慮構(gòu)造“”：即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列思路二：代入法：將所證數(shù)列視為一個整體，用表示：，則只需證明是等比數(shù)列即可，那么需要關(guān)于的條件（首項，遞推公式），所以用將表示出來，并代換到的遞推公式中，進(jìn)而可從的遞推公式出發(fā)，進(jìn)行證明解：令，則遞推公式變?yōu)椋菏枪葹榈牡缺葦?shù)列。即數(shù)列為等比數(shù)列小煉有話說：（1）構(gòu)造法：在構(gòu)造的過程中，要尋找所證數(shù)列形式的亮點(diǎn)，并以此為突破對遞推公式進(jìn)行變形，如例1中就是抓住所證數(shù)列有一個“倒數(shù)”的特點(diǎn)，進(jìn)而對遞推公式作取倒數(shù)的變換。所以構(gòu)造法的關(guān)鍵之處在于

3、能夠觀察到所證數(shù)列顯著的特點(diǎn)并加以利用（2）代換法：此方法顯得模式化，只需經(jīng)歷“換元→表示→代入→化簡”即可，說兩點(diǎn)：一是代換體現(xiàn)了兩個數(shù)列的一種對應(yīng)關(guān)系，且這種對應(yīng)是同序數(shù)項的對應(yīng)（第項對應(yīng)第項）；二是經(jīng)過代換，得到的遞推公式，而所證是等比數(shù)列，那么意味著其遞推公式經(jīng)過化簡應(yīng)當(dāng)形式非常簡單，所以盡管代入之后等式復(fù)雜，但堅定地化簡下去，通常能夠得到一個簡單的答案。個人認(rèn)為，代入法是一個比較“無腦”的方法，只需循規(guī)蹈矩按步驟去做即可。例2：數(shù)列{}的前n項和為，（*）．設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式思路：本題所給等式混合在一起，可考慮將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓蛑缓牡仁?，題目中傾向于項的關(guān)

4、系，故考慮消掉，再進(jìn)行求解解：①②①②可得：即是公比為的等比數(shù)列令代入（*）可得：小煉有話說：（1）遇到混合在一起的等式，通常轉(zhuǎn)化為純（項的遞推公式）或者純（前項和的遞推公式），變形的方法如下：①消去：向下再寫一個關(guān)于的式子（如例2），然后兩式相減（注意取值范圍變化）②消去：只需代換即可（）（2）混合在一起的等式可求出，令即可（因為）（3）這里體現(xiàn)出的價值：等差等比數(shù)列的通項公式是最好求的：只需一項和公差（公比），構(gòu)造出等差等比數(shù)列也就意味這其通項可求，而通過也可將的通項公式求出。這里要體會兩點(diǎn)：一是回顧依遞推求通項時，為什么要構(gòu)造等差等比數(shù)列，在這里給予了一個解釋；二是體會解答題中這一問

5、的價值：一個復(fù)雜的遞推公式，直接求其通項公式是一件困難的事，而在第一問中，恰好是搭了一座橋梁，告訴你如何去進(jìn)行構(gòu)造輔助數(shù)列，進(jìn)而求解原數(shù)列的通項公式。所以遇到此類問題不要只停留在證明，而可以順藤摸瓜將通項一并求出來例3：已知數(shù)列滿足：且，求證：為等差數(shù)列解：設(shè)，則代入可得：為等差數(shù)列，即為等差數(shù)列例4：已知曲線，過上一點(diǎn)作一斜率為的直線交曲線于另一點(diǎn)（且，點(diǎn)列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中.（1）求與的關(guān)系式；（2）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；解：（1）曲線（2），代入到遞推公式中可得：是公比為的等比數(shù)列小煉有話說：本題（2）用構(gòu)造法比較復(fù)雜，不易構(gòu)造出的形式，所以考慮用代入法直接求解例5：已知數(shù)列

6、滿足，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？若不是，請說明理由；若是，試求出解：設(shè)代入到可得：而①時，，不是等比數(shù)列②時，是等比數(shù)列，即為等比數(shù)列例6：（2015山東日照3月考）已知數(shù)列中，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列思路：所證數(shù)列為，可發(fā)現(xiàn)要尋找的是偶數(shù)項的聯(lián)系，所以將已知分段遞推關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榕c之間的關(guān)系，再進(jìn)行構(gòu)造證明即可證明：由可得：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列例7：（2015湖北襄陽四中階段性測試）已知數(shù)列滿足，且對任意非負(fù)整數(shù)均有：（1）求（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式解：（1）令可得：再令可得：（2）思路：考慮證明數(shù)列是等差數(shù)列，則要尋找，的關(guān)系，即所涉及項為，結(jié)合已知等式令，利用（1）中的

7、，將代換為即可證明，進(jìn)而求出通項公式證明：在中令得：由（1）得代入可得：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列例8：（2010安徽，20）設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0，求證：是等差數(shù)列的充分必要條件是：對都有思路：證明充要條件要將兩個條件分別作為條件與結(jié)論進(jìn)行證明，首先證明必要性，即已知等差數(shù)列證明恒等式。觀察所證等式可聯(lián)想到求和中的裂項相消。所以考慮，然后恒等式左邊進(jìn)行求和即可證明。再證明充分性，即已知恒等式證明等差數(shù)列：恒等式左側(cè)為求和