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《高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀講義微專題51 等差等比數(shù)列綜合問(wèn)題.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、微專題51等差等比數(shù)列綜合問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列遞推公式通項(xiàng)公式等差（比）中項(xiàng)等間隔抽項(xiàng)仍構(gòu)成等差數(shù)列仍構(gòu)成等比數(shù)列相鄰項(xiàng)和成等差數(shù)列成等比數(shù)列2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的互化：（1）若為等差數(shù)列，，則成等比數(shù)列證明：設(shè)的公差為，則為一個(gè)常數(shù)所以成等比數(shù)列（2）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，，則成等差數(shù)列證明：設(shè)的公比為，則為常數(shù)所以成等差數(shù)列二、典型例題：例1：已知等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則公比（）A.B.或C.D.思路：由“成等差數(shù)列”可得：，再由等比數(shù)列定義可得：，所以等式變?yōu)椋航獾没?，?jīng)檢驗(yàn)均符合條件答案：B例2：已知是等差數(shù)列，且公差不
2、為零，其前項(xiàng)和是，若成等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.思路：從“成等比數(shù)列”入手可得：，整理后可得：，所以，則，且，所以符合要求答案：B小煉有話說(shuō)：在等差數(shù)列（或等比數(shù)列）中，如果只有關(guān)于項(xiàng)的一個(gè)條件，則可以考慮將涉及的項(xiàng)均用（或）進(jìn)行表示，從而得到（或）的關(guān)系例3：已知等比數(shù)列中的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則_______________思路：由等比數(shù)列性質(zhì)可得：，從而，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以為等差數(shù)列，求和可用等差數(shù)列求和公式：答案：例4：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減，則成等差數(shù)列，則這三個(gè)數(shù)為_(kāi)__________思路：可設(shè)這三個(gè)數(shù)為，則有，解得，而第一
3、個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減2，新的等差數(shù)列為，所以有：，即，解得或者，時(shí)，這三個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，這三個(gè)數(shù)為答案：小煉有話說(shuō)：三個(gè)數(shù)成等比（或等差）數(shù)列時(shí)，可以中間的數(shù)為核心。設(shè)為（或），這種“對(duì)稱”的設(shè)法便于充分利用條件中的乘積與和的運(yùn)算。例5：設(shè)是等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比，且，若，則有（）A.B.C.D.或思路：抓住和的序數(shù)和與的關(guān)系，從而以此為入手點(diǎn)。由等差數(shù)列性質(zhì)出發(fā)，，因?yàn)?，而為等比?shù)列，聯(lián)想到與有關(guān)，所以利用均值不等式可得：（故，均值不等式等號(hào)不成立）所以即答案：B小煉有話說(shuō)：要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長(zhǎng)的運(yùn)算，等差數(shù)列擅長(zhǎng)加法，等比數(shù)列擅長(zhǎng)乘積。所以在選擇入手點(diǎn)時(shí)可根據(jù)表
4、達(dá)式的運(yùn)算進(jìn)行選擇。例6：數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，則有（）A.B.C.D.與的大小不確定思路：比較大小的式子為和的形式，所以以為入手點(diǎn)，可得，從而作差比較，由為正項(xiàng)等比數(shù)列可得：，所以答案：B小煉有話說(shuō)：要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長(zhǎng)的運(yùn)算，等差數(shù)列擅長(zhǎng)加法，等比數(shù)列擅長(zhǎng)乘積。所以在選擇入手點(diǎn)時(shí)可根據(jù)表達(dá)式的運(yùn)算進(jìn)行選擇。例7：設(shè)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.思路：求和看通項(xiàng)，考慮，所以，，所以答案：A例8：(2011,江蘇）設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是____
5、_______思路：可知等比數(shù)列為，等差數(shù)列為，依題意可得①，若要最小，則要達(dá)到最小，所以在①中，每一項(xiàng)都要盡量取較小的數(shù)，即讓不等式中的等號(hào)成立。所以，所以，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，，①式為，滿足題意。答案：例9：已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列是公比為的正整數(shù)，前項(xiàng)和為，若，且是正整數(shù)，則等于（）A.B.C.D.解：本題的通項(xiàng)公式易于求解，由可得，而處理通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是要解出，由可得，所以，由，可得，所以可取的值為，可得只有才有符合條件的，即，所以，所以，，則答案：D例10：個(gè)正數(shù)排成行列（如表），其中每行數(shù)都成等差數(shù)列，每列數(shù)都成等比數(shù)列，且所有的公比都相同，已知，則_____
6、__，___________思路：本題抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整個(gè)數(shù)陣，抓住已知中的，可得，從而只要得到某一行的數(shù)，即可求得數(shù)陣中的每一項(xiàng)。而第四列即可作為突破口，設(shè)每行的公差為由可得，從而，所以。則，求和的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法可求得：答案：小煉有話說(shuō)：對(duì)于數(shù)陣問(wèn)題首先可設(shè)其中的項(xiàng)為（第行第列），因?yàn)閿?shù)陣中每行每列具備特征，所以可將其中一行或一列作為突破口，求得通項(xiàng)公式或者關(guān)鍵量，然后再以該行（或該列）為起點(diǎn)拓展到其他的行與列，從而得到整個(gè)數(shù)陣的通項(xiàng)公式
