一類平面自仿射tiles的邊界.pdf

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1、第44卷第3期數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識Vo1．44．No．32014年2月MATHEMATICSIN摘PRAC

2、知識]●J●：0>一設(shè)是2×2階擴張矩陣(即的所有特征值的模都大于1)，根據(jù)文獻(xiàn)[1]j對于任意的<一2有限集DcR，存在惟一的非空緊子集=T(A，D)cR。，滿足VlT：UA>(一+d)(1．1)一乏即AT=U(T+d)，且具有如下表達(dá)式<一髓={∑Adk：dk∈D}(1．2)稱上述為自仿射集，D為數(shù)字集，(，D)為自仿對，如果D：ldet(A)l且T?！?，稱為自仿射tiles([2—4])，此時存在離散集cR。，滿足+g=R，(T。+)n(T。+Y)=(，Y∈)自仿射tiles是分形中一類重

3、要的集類，近年來，人們對白仿射tiles的研究表現(xiàn)出極大的興趣，也得到了一些較好的結(jié)果，例如文獻(xiàn)[5】對一維自仿射tiles的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)分析，通過迭代法找到了它的所有邊界點，文獻(xiàn)[6]研究了由連續(xù)共線型數(shù)字集生成的自仿射tiles，得到了其連通性是由擴張矩陣所確定的特征多項式所確定，文獻(xiàn)『71系統(tǒng)地研究了一類平面上的tiles，通過對自仿射tiles元素的基數(shù)展開，獲得了自仿射tiles連通的充要條件，并給出不連通條件下連通分量的詳細(xì)算法，由于平面自仿射tiles的邊界并不是直線情況的簡單推廣

4、，文章僅考慮由A=P．II,D=[；]：。-p·一，。J-g-一)收稿日期：2013—03．26資助項目：福建省自然科學(xué)基金項目(2011J01003)；山西省大學(xué)生創(chuàng)新性實驗項目(2011361)；長治學(xué)院科研項目(201216)218數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識44卷～1=p-一～]，—=P-口一rk]c．3其：』≠q={『rJ]：。-p一，?？凇ひ?c．4圖12主要結(jié)果定理1設(shè)P，q∈Z，且IPl2，IqI2，令=P]，。={[；]：。IPI-1,0<-Jcz則T=T(A，D)是一類自仿射

5、Tiles．證明我們僅需考慮P>0，q>0的情況，這是因為，對T迭代一次T(A，D)：T(A，AD+D)其中=lp02p。+。=[pal+a2+]：。，z-p一，。，g-一)c2若p>O．q0，令。=A。+。+[p2p]若P<0，q<0，令

6、。=。+。+p2+p]取【，J儀儀是T(A，J明一／rf移，／1、天一股，1lJ思1阪疋p>u’g>u·o。對V∈(0，)，設(shè)，0g一，由(·4)式：02當(dāng)p=2時，考慮一u一(+[])A一1u一(+[])={[量套薹霎+1]：。，。q一}用類似的方法得到㈦：0

7、理2對上述自仿對(A，D)，設(shè)％(㈤一(㈤q-1其中0p一1，0≤口一1，令Tj：pU-&J()0：0，1，．．·，，q一1)，顯然T=U，則i=0j=o決定了的部分邊界．220數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識44卷證明顯然T是由{s，』)所生成，由(1．4)并注意到p-1十(pq)一q一=Tk+l，容易計算j(T)中的元素具有如下形式．Il薹+尊一扣南+一k∑=l川“]jI(2．3)舯甬由于{,ri星k∑∞=

8、是連通的，故對任意的∈TO：0，1，2，?，q一1)，必存在，使得n≠≠1)由于{妻k=l舞+Jq：0