m 尺度正交雙向小波的構(gòu)造.pdf

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1、第27卷第1期紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)V01．27，No．12014年3月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESMarch，2014文章編號(hào)：1006—8341(2014)01—0096—07m尺度正交雙向小波的構(gòu)造李萬(wàn)社，房小蒙，張洪濤(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062)摘要：將2尺度雙向加細(xì)函數(shù)和雙向小波的研究以及相關(guān)性質(zhì)推廣到m尺度．同時(shí)，給出了雙向加細(xì)函數(shù)和雙向小波在對(duì)稱(chēng)與反對(duì)稱(chēng)時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足的條件．最后研究了如何利用正交尺度函數(shù)和對(duì)應(yīng)的正交小波．構(gòu)造正交雙向小波，并給出了具體算例．關(guān)

2、鍵詞：雙向加細(xì)函數(shù)；多分辨分析；雙向小波；對(duì)稱(chēng)性；正交性中圖分類(lèi)號(hào)：0177．1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A0引言小波分析是近年來(lái)迅速發(fā)展起來(lái)的新興學(xué)科，它同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用廣泛的雙重意義．它的應(yīng)用范圍包括了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的很多學(xué)科，以及信號(hào)分析、圖像處理、地震勘探數(shù)據(jù)處理、邊緣檢測(cè)、機(jī)器故障診斷等多個(gè)方面[1q]．2帶小波的理論研究已趨于完善，但是DaubechiesL4]證明對(duì)于任何的2帶小波，除了Haar小波以外不存在同時(shí)具有正交對(duì)稱(chēng)緊支撐性的小波．為了解決這個(gè)問(wèn)題，人們將2帶小波推廣到了多小波[5]，就是用多個(gè)函數(shù)的伸縮和平移形成L(尺)空間的基底，但是

3、放棄2帶小波，使用多帶小波也可以解決這個(gè)問(wèn)題．楊守志等人L8提出了雙向加細(xì)方程的概念，并引入了雙向正交尺度函數(shù)和雙向小波函數(shù)，進(jìn)而得到了一系列的理論和結(jié)果．雙向加細(xì)方程是加細(xì)方程的推廣，因此基于雙向正交加細(xì)函數(shù)能得到具有良好性質(zhì)的雙向正交小波．文獻(xiàn)[10—11]研究了2帶正交雙向小波和2帶雙正交雙向小波的性質(zhì)和構(gòu)造方法，文獻(xiàn)[12—13]討論了雙正交雙向小波的一些性質(zhì)和構(gòu)造算法．本文主要將2帶正交雙向小波的性質(zhì)推廣到尺度，同時(shí)給出了構(gòu)造m尺度雙向正交小波的方法，并給出了具體的算例。1基本概念定義1如果函數(shù)聲(z)∈L(R)且滿(mǎn)足下列雙向加細(xì)方程乒

4、(z)一∑(懈一是)+∑(憊一mx)，(1)則稱(chēng)聲(z)是雙向加細(xì)函數(shù)，其中{)稱(chēng)為正向面具，()稱(chēng)為負(fù)向面具．對(duì)式(1)兩邊同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換有(叫)一(exp(-ko／m)~(／m)+P一(exp(-ico／m)(／m)．(2)其中P+(z)一z稱(chēng)為正向面具符號(hào)，P一()一P稱(chēng)為負(fù)向面具符號(hào)·收稿日期：2013—06—19基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1171201)通訊作者：李萬(wàn)社(1963一)，男，陜西省西安市人，陜西師范大學(xué)教授，研究方向?yàn)橹悄苄盘?hào)處理．E-mail：liwsh@snnuedu．cn第1期尺度正交雙向小波的構(gòu)造97

5、沒(méi)為了討論式(1)解的存在性，對(duì)式(1)變形得．(一z)=∑戶(hù)j_(一mx一點(diǎn))+∑聲(眥+是)．(3)^∈Z^∈Z對(duì)式(3)兩邊做傅里葉變換得—一P+(exp(-—ko／m))+F(∞／，，z)．(4)由式(2)和(4)聯(lián)立得P+(exp(一ioj／m))P一(exp(一iofm))(5)P一(exp(一ion~m))I升(exp(一ko／m))∑一P一，●●●●、●●【／，J●＼eX∑，∑，(6)西c一(聲)一『蕓箬懈_；)一fpP+k]c眥一++則式(5)是(6)在頻域中的m尺度加細(xì)方程，它的加細(xì)面具是+抖一抖槲P()一fI【—P———]l

6、：=∑>l+p。。+lz．(7)一()(z)J屠【p—一p蚪^戶(hù)+一Jp抖^顯然式(1)有解當(dāng)且僅當(dāng)式(5)或者(6)有解．Ⅲ棚定義2設(shè)()是緊支撐的雙向加細(xì)函數(shù)，則稱(chēng)j6(z)是正交雙、，向加、，細(xì)函數(shù)，若滿(mǎn)足<(z)，(一忌)>一80，女，({6()，(Z—z)>=Il0，k，一Z∈Z．(8)o定理1設(shè)fI(z)是滿(mǎn)足式(1)的緊支撐的正交雙向加細(xì)函數(shù)，則有∈(9)Z用正向面具符號(hào)和負(fù)向面具符號(hào)可以表示為m-Iexp(一i(+)))可+(10)p(一i(+)))P—oxp(一i(+)))m-1exp(一i(+)))P—oxp(一i(+)))一

7、o．證明由雙向加細(xì)函數(shù)聲()的正交性知(jI(z)，拳(—z)>一(∑Ep+(眥一是)+p(一眥)]，∑Ep*{6(舭一ml一)+p廬(一ZtZ．TC+z)])一∑∑[p<(眥一是)，(～一(ml+))>+∑∑p((舭一是)，((+)一眥)>+(j5(忌一懈)，(懈一(+))>+p戶(hù)<(矗一mx)，{I((+)一眥)>-1一(”+p-[p28?)=(砌+舯==：所以∑(p戶(hù)+P；P~-)一瑚0l2，即∑(pj_戶(hù)，朋+p戶(hù))=m3，咒∈Z．同理可以證明∑(：'PS-，冊(cè)+戶(hù))=0．由于98紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)第27卷m—l∑=0[(exp(一i(

8、∞+)))Poxp(一i(+)))+P一(exp(-i(+)))P一(exp(一i(+)))]一pexp(_一)expI(志一2rr／+