正交小波構(gòu)造.doc

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1、第5講正交小波構(gòu)造5.1正交小波概述5.2由遞推求解的方法。5.3消失矩、規(guī)則性及支撐范圍5.4Daubechies正交小波構(gòu)造5.5接近于對稱的正交小波及Coiflet小波我們在上一講中集中討論了離散小波變換中的多分辨率分析，證明了在空間中存在正交歸一基，由作尺度伸縮及位移所產(chǎn)生的是中的正交歸一基。是尺度函數(shù)，在有的文獻(xiàn)中又稱其為“父小波”。同時，我們假定的正交補(bǔ)空間中也存在正交歸一基，它即是小波基，為小波函數(shù)，又稱“母小波”。本章，我們集中討論如何構(gòu)造出一個正交小波。所謂“正交小波”，指的是由生成的，或空間中的正交歸一基。Daubechies在正交小波的構(gòu)造中作出了突出

2、的貢獻(xiàn)。本章所討論的正交小波的構(gòu)造方法即是以她的理論為基礎(chǔ)的。5.1正交小波概述現(xiàn)在舉兩個大家熟知的例子來說明什么是正交小波及對正交小波的要求,一是Haar小波，二是Shannon小波。1.Haar小波我們在4..1節(jié)中已給出Haar小波的定義及其波形，Haar小波的尺度函數(shù)。重寫其定義，即(5.1.1)(5.1.2)顯然,的整數(shù)位移互相之間沒有重疊，所以，即它們是正交的。同理，。很容易推出和的傅里葉變換是注意式中實(shí)際上應(yīng)為。由于Haar小波在時域是有限支撐的，因此它在時域有著極好的定位功能。但是，由于時域的不連續(xù)引起頻域的無限擴(kuò)展，因此，它在頻域的定位功能極差，或者說頻域

3、的分辨率極差。上一章指出，Haar小波對應(yīng)的二尺度差分方程中的濾波器是：，(5.1.5)它們是最簡單的兩系數(shù)濾波器。2.Shannon小波令(5.1.6)則(5.1.7)由于(5.1.8)所以構(gòu)成中的正交歸一基。稱為Shannon小波的尺度函數(shù)。由于，，由二尺度性質(zhì)，，因此(5.1.9)這樣，對，有(5.1.4.)于是可求出(5.1.11)讀者可很容易驗(yàn)證(5.1.12)也即構(gòu)成中的正交歸一基。其實(shí)，從頻域可以看到，和各自及相互之間的整數(shù)移位都沒有重疊，因此它們是正交的，如圖5.1.1所示。圖5.1.1Shannon小波及其尺度函數(shù)度頻域波形顯然，Shannon小波在頻域是

4、緊支撐的，因此，它在頻域有著極好的定位功能。但頻域的不連續(xù)引起時域的無限擴(kuò)展，也即時域?yàn)镾inc函數(shù)。這樣，Shannon小波在時域不是緊支撐的，有著極差的定位功能。Haar小波和Shannon小波是正交小波中兩個極端的例子。自然，我們欲構(gòu)造的正交小波應(yīng)介于兩者之間。以前給出了能作為小波的函數(shù)的基本要求，即：應(yīng)是帶通的；由于，因此它應(yīng)是振蕩的；應(yīng)滿足容許條件；還應(yīng)滿足穩(wěn)定性條件；此外，、最好都是緊支撐的。由二尺度差分方程，、均和、有著內(nèi)在的聯(lián)系。重寫(4..4.14)式和(4..4.15)式，有(5.1.13)(5.1.14)這兩個式子明確指出，正交小波及其尺度函數(shù)可由共扼

5、正交濾波器組作無限次的遞推來產(chǎn)生。這一方面給我們指出了構(gòu)造正交小波的途徑，另一方面也指出，在(5.1.13)和(5.1.14)式的遞推過程中還存在著一個收斂的問題，這就要求對小波函數(shù)還要提出更多的要求，如5.3節(jié)要討論的消失矩和規(guī)則性等問題。為說明這些問題，我們在下一節(jié)首先討論如何由(5.1.13)和(5.1.14)式遞推求解和的問題，并說明其中可能存在的問題。5.2由遞推求解的方法。(4..4.4)式給出了由遞推求解和的方法。即(5.2.1a)(5.2.1b)此即二尺度差分方程，對應(yīng)的頻域關(guān)系由(5.1.13)和(5.1.14)式給出。假定和事先是未知的，當(dāng)然(5.2.1

6、)式無法利用，這時可用(5.1.13)式或(5.1.14)式遞推求解和。若令(5.2.2a)并用它來近似，那么(5.2.2a)式對應(yīng)的時域關(guān)系是(5.2.2b)式中,是由每兩點(diǎn)插入一個點(diǎn)所得到的新序列。同理，是將每兩點(diǎn)插入個零所得的新序列。假定的長度為，則的長度為，的長度為，的長度為，,其余可類推。由此可以看出，(5.2.2)式卷積的結(jié)果將使的長度急劇增加。例如，若令，則如此，當(dāng)趨近于無窮時，逼近，“逼近”連續(xù)函數(shù)，但這一“逼近”，需要將接近于無限長的壓縮回到有限的區(qū)間內(nèi)。由于的長度為，我們假定的“長度”也為，只不過此處范圍代表的是連續(xù)時間的序號。也即，的時間持續(xù)區(qū)間是，在

7、這一范圍內(nèi)應(yīng)包含的所有點(diǎn)，壓縮比等于的長度/。MATLAB中的wavefun.m文件可以實(shí)現(xiàn)上述的遞推算法。對(5.2.1a)式，若令(5.2.3)并令(5.2.4)則當(dāng)時，逼近尺度函數(shù)。若給定，則利用(5.2.3)式遞推的結(jié)果如圖5.2.1所示。由該圖可以看出，,都是階梯狀的分段連續(xù)曲線，當(dāng)時，已是一光滑的連續(xù)曲線。這說明，按給定的，(5.1.13)式求出的是收斂的。假定將改為，則由(5.2.3)和(5.2.4)式遞推的結(jié)果示于圖5.2.2[4.,21]。這時的產(chǎn)生了較強(qiáng)的振蕩，它不會收斂于一個連續(xù)的、平滑的且是