數(shù)學分析選講.doc

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1、分析數(shù)學教案主講人姜廣浩淮北師范大學數(shù)學科學學院2010年3月1日57第一章一元函數(shù)的極限§1.1利用定義及迫斂性定理求極限設(shè)表示實數(shù)集合,表示擴張的實數(shù)集,即.例1若.證明(算術(shù)平均值收斂公式).證明(1)設(shè),由,,,當時,.因此,其中.又存在,當時,.因此當時,.(2)設(shè),則,,當時,.因此,其中.由于,,所以存在,當時,,.因此.(3)當時,證明是類似的.(或令轉(zhuǎn)化為(2)).注例1的逆命題是不成立的.反例為,容易看出57,但是極限不存在.例2設(shè)為單調(diào)遞增數(shù)列,.證明若,則．證明由為單調(diào)遞增數(shù)列,當時有.固定

2、,則有,其中.令,則.又由于,所以.令,由迫斂性定理得．注當為單調(diào)遞減數(shù)列時,上述結(jié)論也成立.例3設(shè)數(shù)列收斂,且,證明.(幾何平均值收斂公式).證明設(shè),則由極限的不等式性質(zhì)得.(1)若,則,由例1,.因此(2)若,則.因此,.注可以證明當時結(jié)論也成立.例4設(shè),證明:若存在,則也存在且.證明令,,…,,….由例3得,.所以.57例5證明.證明1設(shè),則().由例4得證明2利用司特林(Stirling)公式得例6設(shè),().令.證明.證明.由于數(shù)列收斂,故是有界的.設(shè),則.利用例1得.例7設(shè).證明.證明由,,,當時,.所以

3、57,其中.又存在,當時,.故當時,.例8證明.證明令,則.所以.由迫斂性定理得,().所以.例9求極限.解以下不等式是顯然的:由例8與迫斂性定理得所求極限為1.例10設(shè)是兩個定數(shù),且當時.證明.證明由,,,………,相加得.57所以.這推出.例11設(shè),求極限.分析若極限存在且為,則.由此解得.再由知.故.解由得.同理有.一般情況有.所以.例12設(shè),求極限.分析若極限存在且為,則.由此解得.再由知.故57.解令,我們有.由上述遞推關(guān)系可得,由于,故得.例13設(shè)是正數(shù),對任意自然數(shù),令.證明.證明,同理.兩式相除得.由

4、歸納法得.由于,得到.所以,這證明了.57§1.2stolz定理及其應(yīng)用定理1設(shè)是趨于零的數(shù)列,嚴格遞減趨于零,則當存在或為、時，有.證明設(shè).(1)若是有限實數(shù),則,,當時,有.由于,所以,,………,上述各式相加得.在上式中固定并令,由于,,得.注意到,由上式便得.所以.(2)若,則,,當時,有.仿照(1)中的證法可得,對任意自然數(shù),有,固定并令,得.所以.(3)若,可用代替轉(zhuǎn)化為(2)的情形.57定理2設(shè)是任意數(shù)列,嚴格遞增趨于,則當存在或為、時，有.證明設(shè).(1)若是有限實數(shù),則,,當時,有.由于,所以,,……

5、…,上述各式相加得.由此便得.所以.由恒等式得由于(),,當時,有.因此當時,.這證明了.57(2)若,則當充分大時,有.由(),可知(),且數(shù)列嚴格遞增.注意到,由(1)的結(jié)論得.從而.(3)若,可用代替轉(zhuǎn)化為(2)的情形.定理1與定理2統(tǒng)一稱為Stolz定理.例1利用Stolz定理.證明(§1例7)：設(shè).證明.證明令,,則嚴格遞增趨于,由定理2,．例2求極限,其中為自然數(shù).解令,,由定理2,.其中倒數(shù)第二式中…表示關(guān)于的次數(shù)為的一個多項式.例3求極限,其中為自然數(shù).解令,,由定理2,.其中倒數(shù)第二式分子與分母中

6、的…均表示關(guān)于的次數(shù)為的多項式.注例3中當不是自然數(shù)時,只要(該條件保證),利用定理2,并令57,我們有.再利用求函數(shù)極限的羅必塔法則,可以求出最后一式的極限為.例4設(shè).試證:極限存在時,.證明因,而極限存在,故只需證明第一項趨于零.令,,…,,則由條件知,且.于是(應(yīng)用定理2)57.例5設(shè),.證明.證明由條件.用數(shù)學歸納法容易證明對所有自然數(shù)有,即.所以數(shù)列是嚴格單調(diào)遞減有下界的.由單調(diào)有界定理,極限存在,設(shè)極限值為.在中令得,由此得.由于嚴格單調(diào)遞增趨于,根據(jù)定理2,.§1.3利用壓縮影像原理和單調(diào)有界定理求極

7、限壓縮影像原理設(shè)可導且,是常數(shù).給定,令.證明序列收斂.證明由拉格朗日中值定理，得.其中介于之間.故對任意自然數(shù),（,).由柯西收斂準則收斂.注(1)利用壓縮影像原理必須保證是否保持在成立的范圍之內(nèi).(2)稱為壓縮映射(因為)．57例1(§1例11)：．設(shè),求極限.解令(),則.又(),故稱為壓縮映射.由壓縮影像原理,收斂.再對遞推公式,兩邊取極限即可.例2(§1例13)：設(shè)是正數(shù),對任意自然數(shù),令.證明.證明令(),則.又(),從而有.故稱為壓縮映射.由壓縮影像原理,收斂.再對遞推公式,兩邊取極限即可.例3設(shè)…,

8、.求.解容易證明單調(diào)遞增.現(xiàn)證對任意自然數(shù),.當時顯然成立.歸納假設(shè).則.由單調(diào)有界定理,有極限.設(shè).對兩邊取極限得.解得.由于,故得.例4設(shè),當時,.求.解顯然.由于與,所以,即單調(diào)遞減且有下界.故57極限存在,令.由遞推關(guān)系式得.解得,即.例5設(shè),且對任意自然數(shù),其中.求.解由于,,與故與同號.因此當時有,此時遞增有上界;當時有,此時遞減有下界.所以收斂