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《巧構(gòu)正方體妙解高考題.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、巧構(gòu)正方體，妙解高考題DCBA圖12006年高考數(shù)學(xué)試題江西卷的立體幾何題是這樣的：如圖1，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形.(1)求證：AD^BC；(2)求二面角B－AC－D的大?。?3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由.MExzyDCOBA圖2本題用綜合法（傳統(tǒng)方法）來解難度較大，甚感“山重水復(fù)疑無路”，若能根據(jù)題目條件構(gòu)造正方體來解，便能“柳暗花明又一村”了.分析：因?yàn)轭}目條
2、件中有“ABD、ACD是全等的直角三角形”、“AD＝，BD＝CD＝1”、“正三角形”等條件，所以我們?nèi)菀茁?lián)想到正方體，從而構(gòu)造出如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體了.因此以下的解法也就再自然不過了.解(1)如圖2,構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方體.以D為原點(diǎn)，以DB為x軸，DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B（1,0,0）,C(0,1,0),A(1,1,1),,,∴∴BC⊥AD.(2)設(shè)平面ABC的法向量為，則由同理由∴.不妨取.同理可求得平面ACD的一個(gè)法向量為，∴cos=,又由圖可以看出，二面角為銳二面角，∴所求的二面角的大小為arccos.(3)設(shè)E
3、(x,y,z)是線段AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作面BCD的垂線段EM，則MC=EM，∴x=z>0,y=1,∴.又平面BCD的一個(gè)法向量為，要使ED與面BCD成30角，由圖可知只要，∴cos=,∴,∴.故在線段AC上存在點(diǎn)E，當(dāng)CE=1時(shí)，ED與面BCD成30角.正方體是一種特殊且重要的多面體，它含有豐富的線線、線面和面面等位置關(guān)系．一道立體幾何題，如果能通過構(gòu)造正方體來解，不僅方法簡(jiǎn)捷自然，而且還可以利用空間向量這一工具降低思維難度.所以有關(guān)能通過構(gòu)造正方體來解的題深受高考命題教師的青睞.下面再通過幾個(gè)例子來說明這種方法的運(yùn)用．例1(200
4、3年全國(guó)高考題)一個(gè)正四面體的所有棱長(zhǎng)都是，四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則此球的表面積為（?）.(A)3?????(B)4?????(C)3????(D)6解：以正四面體的各棱為正方體的面對(duì)角線，構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方體，顯然所求的球就是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為R，即有2R＝．則故選(A)．例2(2002年全國(guó)高考題)如圖3，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a.（I）求MN的長(zhǎng)；（II）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最??；（III）當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，
5、求面MNA與面MNB所成的二面角的大小.AF????????圖3?????????????????????圖4??????解：(Ⅰ)可求得MN=．(Ⅱ)由（I）MN=，故當(dāng)時(shí)，．即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為．(Ⅲ)以正方形ABCD、ABEF為相鄰面構(gòu)造正方體，如圖4，面MNA與面MNB所成的角，即為面MNA與面CF1E所成的角(因?yàn)槊鍹NB∥面CF1E)．在正四面體AEF1C中，易求得兩個(gè)相鄰面所成二面角的余弦為－，∴二面角A—MN—B的大小為－arccos．例3(2004年北京春季高考題)如圖5，四棱
6、錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，．??????????????圖5?????????????????????????????????????????????????????????????圖6???（I）求證BC⊥SC；（II）求面ASD與面BSC所成二面角的大?。唬↖II）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.解：（I）∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，∴可以把四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體A1B1C1S-ABCD，如圖6，由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,且SB＝知SD=1，故長(zhǎng)方體A1B1C1S-ABC
7、D是棱長(zhǎng)為1的正方體．（I）在正方體A1B1C1S-ABCD中，顯然有BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．??（II）在正方體A1B1C1S-ABCD中，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面BCSA1所成的二面角．??而∠CSD即為其平面角,??又∠CSD=45，?∴面ASD與面BSC所成的二面角的大小為45．（III）在正方體A1B1C1S-ABCD中，M即是面對(duì)角線A1D的中點(diǎn)，∴DM⊥SA．又SA是SB在面ASD上的射影，由三垂線定理得DM⊥SB，∴異面直線DM與SB所成的角為90．練習(xí)題PCBAPCABPABC1、在
8、球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個(gè)球面面積是.分析PA、PB、PC兩兩垂直很容易想到PABC位于一個(gè)正方體中，從而構(gòu)造正方體.解如圖，滿足條件的正方體的四個(gè)頂點(diǎn)P
