利用求導(dǎo)解物理問(wèn)題.doc

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1、利用“求導(dǎo)”解決物理問(wèn)題在“考試大綱”中指出了物理學(xué)科5個(gè)方面的能力要求,其中第4個(gè)能力要求是:應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力。表明數(shù)學(xué)知識(shí)在物理問(wèn)題的解決過(guò)程中占有重要的地位。一、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1、題目如圖1所示,真空中,帶電荷量分別為+Q和-Q的點(diǎn)電荷A、B相距r,則(1)兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)O的場(chǎng)強(qiáng)多大?(2)距A、B兩點(diǎn)都為r的O/點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)如何?[解析]分別求出+Q和-Q在某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向,然后根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理,求出合場(chǎng)強(qiáng)。(1)如圖2所示,A、B兩點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相同,由AB

2、,A、B兩點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度,EA=EB==故O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為EO=2EA=,方向由AB。(2)圖3所示,EA/=EB/=,由矢量圖所形成的等邊三角形可知,O/點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)EO/=EA/=,方向與A、B的中垂線垂直,即EO/與EO同向。[結(jié)論]在等量異種電荷連線的垂直平分線上,中點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最大,兩邊成對(duì)稱分布,離中點(diǎn)越遠(yuǎn),場(chǎng)強(qiáng)越小,場(chǎng)強(qiáng)的方向都相同,都是正電荷指向負(fù)電荷的方向。1、思考(1)本題中通過(guò)O點(diǎn)、O/點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小的比較得出了上面的結(jié)論。我們對(duì)結(jié)論作如下的證明:如圖4所示,設(shè)A、B連線中

3、垂線上有一點(diǎn)C,AC、BC與AB的夾角都為θ,根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式有EA=EB=,方向如圖。由矢量合成可得EC=2EAcosθ=(cosθ)3,由于cosθ在(-,0)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),在(0,)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù),即EC在θ=0時(shí)取得最大值,在(-,)區(qū)間內(nèi)θ的取值離0越遠(yuǎn),EC的取值越小。(2)A、B連線上的場(chǎng)強(qiáng)如何分布?二、利用“求導(dǎo)”解決問(wèn)題如圖5所示,在A、B連線上任取一點(diǎn)D,設(shè)AD=l,則BD=r-l,根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式有EA=,EB=,EA、EB場(chǎng)強(qiáng)方向相同,有ED=EA+EB=kQ[+]

4、設(shè)y=+,求導(dǎo)得y/=-2l-3+2(r-l)-3令y/=0則y有極值,所以l=時(shí)y取得極值。如果進(jìn)行二次求導(dǎo),可根據(jù)二次導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來(lái)判斷y取得的是極大值還是極小值。高中階段不研究二次求導(dǎo),不妨可以在0

5、矢量疊加得EF=2EAsinθ=(cosθ)2sinθ設(shè)y=(cosθ)2sinθ=sinθ-(sinθ)3令t=sinθ則y=t-t3求導(dǎo)得y/=1-3t2,令y/=0,則y有極值所以t=±即sinθ=±y取得極值,由于O點(diǎn)及無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零,因此當(dāng)在(-,)內(nèi)θ=±arcsin時(shí)EF取得最大值。三、“求導(dǎo)”應(yīng)用1、求極值如圖7所示,光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道,在離B距離為x的A點(diǎn),用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),從靜止開始推到B處后撤去恒力,質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后

6、又正好落回A點(diǎn),求:(1)推力對(duì)小球所做的功(2)x取何值時(shí),完成上述運(yùn)動(dòng)用力最?。孔钚×槎嗌??[解析](1)質(zhì)點(diǎn)在水平面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)動(dòng)能定理有Fx=mvB2-0①質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),只有重力做功-2mgR=mvC2-mvB2②質(zhì)點(diǎn)由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)過(guò)程中,做平拋運(yùn)動(dòng)水平方向vC?t=x③豎直方向gt2=2R④聯(lián)立①、②、③、④可得W=Fx=⑤根據(jù)豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件,有vC≥所以得x≥2R(2)根據(jù)⑤式得F=x+⑥求導(dǎo)得F/=-⑦當(dāng)F/=0時(shí),F(xiàn)有最小值代入⑦式解

7、得x=4R(x=-4R,舍)⑧把⑧式代入⑥式得F=mg即當(dāng)x=4R時(shí),F(xiàn)取得最小值Fmin=mg1、確定做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖8所示,為一質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象,根據(jù)交流電瞬時(shí)值表達(dá)式可得質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系為y=Asinωt(ω=rad/s)對(duì)該式求導(dǎo)得y/=Aωcosωt根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知,位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為質(zhì)點(diǎn)的速度,所以v=Aωcosωt根據(jù)此式可求得任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度,并可做出速度圖象,如圖9所示。再求速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),可得加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系a=-Aω2sinωt可得任

8、一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度,質(zhì)點(diǎn)的加速度隨時(shí)間的變化圖象如圖10所示。此外,還有動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為質(zhì)點(diǎn)所受的合外力;磁通量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì);動(dòng)能對(duì)位移的導(dǎo)數(shù)為質(zhì)點(diǎn)所受的合外力;系統(tǒng)的動(dòng)能對(duì)相對(duì)位移的導(dǎo)數(shù)為系統(tǒng)內(nèi)的摩擦力;在含有電容器的電路中,電容器所帶電荷量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為該部分電路的電流等等。

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