經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分方程在金融中的應(yīng)用.doc

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微分方程在金融中的應(yīng)用.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、偏微分方程概述如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或是說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，則這類方程稱為偏微分方程，該類方程反映有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間制約關(guān)系的等式.偏微分方程這門學(xué)科開(kāi)創(chuàng)于1946年，19世紀(jì)隨著數(shù)學(xué)物理問(wèn)題研究的繁榮，偏微分方程得到了迅速發(fā)展，以物理、力學(xué)等各門科學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題為背景的偏微分方程已經(jīng)成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)核心內(nèi)容很多重要的物理、力學(xué)等學(xué)科的基本方程本身就是偏微分方程，而其他很多學(xué)科領(lǐng)域中在建立數(shù)學(xué)

2、模型時(shí)都可以用偏微分方程來(lái)描述，或者用偏微分方法來(lái)研究.在科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，很多重要的實(shí)際課題都需要求解偏微分方程，為相應(yīng)的工程設(shè)計(jì)提供必要的數(shù)據(jù)，保證工程安全可靠且高效地完成任務(wù)。在很多的實(shí)際課題中，有不少課題(特別是國(guó)防課題)是不能或很難用工程試驗(yàn)的方法來(lái)進(jìn)行研究的(一方面是危險(xiǎn)系數(shù)大，另一方面是耗費(fèi)大)，因此就需要盡可能地減少試驗(yàn)的次數(shù)或在試驗(yàn)前給出比較準(zhǔn)確的預(yù)計(jì)。隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，電子計(jì)算機(jī)成為解決這些實(shí)際課題的重要工具。但是有效地利用電子計(jì)算機(jī)，必須具備如下先決條件

3、：針對(duì)所考慮的實(shí)際問(wèn)題建立合理的數(shù)學(xué)模型，而這些能精確描述問(wèn)題的模型大都是通過(guò)偏微分方程給出的。對(duì)相應(yīng)的偏微分方程模型進(jìn)行定性的研究。根據(jù)所進(jìn)行的定性研究，尋求或選擇有效的求解方法。編制高效率的程序或建立相應(yīng)的應(yīng)用軟件，利用電子計(jì)算機(jī)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行模擬。因此，總體上來(lái)說(shuō)，上述這些先決條件都屬于偏微分方程應(yīng)用的研究范圍，這些問(wèn)題解決的好壞直接影響到使用電子計(jì)算機(jī)所得結(jié)果的精確性及耗費(fèi)的大小。如果解決得好，就會(huì)對(duì)整個(gè)問(wèn)題的解決起到事半功倍的效果。到目前為止，偏微分方程已經(jīng)在解決有關(guān)人口問(wèn)題、傳染病動(dòng)

4、力學(xué)、高速飛行、石油開(kāi)發(fā)及城市交通等方面的實(shí)際課題中做出了重大的貢獻(xiàn)。金融一直以來(lái)被人們認(rèn)為是文科專業(yè)，但是隨著數(shù)學(xué)的引入，（當(dāng)然也包括偏微分方程），賦予這一學(xué)科極大地生機(jī)和活力。下面期權(quán)定價(jià)理論中偏微分方程的應(yīng)用為例，簡(jiǎn)單闡述偏微。偏微分方程在經(jīng)融中的應(yīng)用.微分方程期權(quán)定價(jià)理論是微觀金融學(xué)的重要內(nèi)容之一，70年代以前誕生的期權(quán)定價(jià)公式都不同程度地依賴于標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格的概率分布和投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，而概率分布和投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好是無(wú)法觀測(cè)和正確估計(jì)的，從而限制了它在實(shí)際中的使用，現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)技術(shù)重

5、大突破之一是源于Black-Scholes(1973)開(kāi)創(chuàng)的Black-Scholes模型該模型假設(shè)：(1)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的利率r為常數(shù)，并對(duì)所有到期日都相同；(2)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布即dS=Sdt+Sdz，其波動(dòng)率為常數(shù)；(3)在期權(quán)的有效期內(nèi)無(wú)紅利支付；(4)套期保值無(wú)交易成本；(5)無(wú)套利機(jī)會(huì)；標(biāo)的資產(chǎn)可以連續(xù)交易，可以細(xì)分，允許賣空.構(gòu)造投資組合：在t時(shí)刻，一單位期權(quán)的價(jià)格v，一標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S，則通過(guò)賣空一單位期權(quán)可以購(gòu)買單位的標(biāo)的資產(chǎn)故，這一資產(chǎn)組合價(jià)值為：。依上述假設(shè)，經(jīng)

6、過(guò)一個(gè)無(wú)限小的時(shí)間段t，這一投資組合的價(jià)值變化為：，而由機(jī)過(guò)程伊藤定理有，，其中是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的方差，此時(shí)投資組合式確定性資產(chǎn)，據(jù)無(wú)套利假設(shè)，該組合的收益變化應(yīng)該等于其自身的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益變化，即：dπ=πrdt，整理得：將代入該式即為Black-Scholes微分方程.3用偏微分方程分析期權(quán)定價(jià)理論假設(shè)C(S,t)表示歐式買入期權(quán)價(jià)格，則由Black-Scholes方程，C(S,t)滿足：據(jù)實(shí)際意義，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S=0時(shí)，期權(quán)無(wú)價(jià)值，故可假設(shè)初始條件C(0,t)=0；標(biāo)的資產(chǎn)S→∞，C（S，t)

7、~S；期權(quán)到期時(shí)，即t=T，可設(shè)定邊界條C(S,t)=max(S-E,0)（E為施權(quán)價(jià)），即得歐式期權(quán)買入定價(jià)模型方程：2)，則上述偏微分方程化為熱方程：C（S，t)=0t=0;C(S,t)~SS→∞C(S,t)=max(S-E,0)t=T這是關(guān)于C(S,t)的偏微分方程，做如下變,C=EV(x,τ),(則上述偏微分方程化為熱方程：(-∞0)其中由熱方程初值問(wèn)題解的理論知上述方程有基本解：==代回原變量得：C(S,t)=SN(d1)-Eer(T-t)N(d2),其中，，。這里S為

8、一標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格，E為施權(quán)價(jià)，C(S,t)表示歐式買入期權(quán)價(jià)格，是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)常數(shù)，r是瞬時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，τ為期權(quán)到期時(shí)間，N為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1.上述參數(shù)已知，即可代入公式求出期權(quán)價(jià)格C（S，t）。我們知道，弦振動(dòng)方程，傳導(dǎo)方程和拉普拉斯是最經(jīng)典的三個(gè)偏微分方程的模型。當(dāng)我們把偏微分方程運(yùn)用于金融中時(shí)，主要是利用金融知識(shí)列出基本的方程，再進(jìn)行求解。因?yàn)榍叭艘呀?jīng)做了很多工作，我們以此可以將列出的金融方程化為典型的偏微分方程，從而利用已經(jīng)研究過(guò)的問(wèn)題進(jìn)行求解。在這個(gè)過(guò)程