微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

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1、微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用授課對象:經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)、國際貿(mào)易專業(yè)、財務(wù)管理專業(yè)授課學(xué)時：2學(xué)時（90分鐘）授課目的:(1)學(xué)會解微分方程(2)體會建模思想和微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用授課教師:張麗莉全社會只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，可以是消費品，也可以是投資品；儲蓄是國民收入的函數(shù)；生產(chǎn)過程中只用兩種生產(chǎn)要素，即勞動力和資本，這兩種要素之間相互不能替代；勞動力按照一個固定不變的比率增長；不存在技術(shù)進(jìn)步，也不存在資本折舊問題；生產(chǎn)規(guī)模報酬不變。一、多馬(Domar,E.D.)經(jīng)濟(jì)增長模型多馬(Domar,E.D.)經(jīng)濟(jì)增長模型的基本假設(shè):設(shè)S(t)為t時刻的儲蓄，I(t)為t時刻的投資，Y(t)為t時

2、刻的國民收入，多馬曾提出如下的簡單宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型：其中、均為正的常數(shù)，為初期國民收入，.第一個方程表示儲蓄與國民收入成正比（稱為儲蓄率），第二個方程表示投資與國民收入的變化率成正比（稱為加速數(shù)），第三個方程表示儲蓄等于投資.由（1）中前三個方程消去S(t)和I(t)，可得關(guān)于Y(t)的微分方程:可分離變量方程形如的一階微分方程，稱為可分離變量方程.將方程兩端分別對x和y積分,得到其中C為任意常數(shù).其通解為于是有由初始條件，得.由此可得:由可知，均為時間的單調(diào)增加函數(shù)，即它們都是不斷增長的.即兩端積分得到,c是任意的常數(shù).多馬模型的結(jié)論與意義從凱恩斯的理論框架開始，但避免了凱恩

3、斯投資率不會增加資本存量規(guī)模的假定（短期分析），從而變成了長期理論。該模型產(chǎn)生了一種均衡條件，它意味著經(jīng)濟(jì)增長的不變比率。模型提出儲蓄或資本的形成是經(jīng)濟(jì)增長的決定性變量，一個經(jīng)濟(jì)的增長能力依賴于一個經(jīng)濟(jì)的儲蓄能力，政府可以通過調(diào)節(jié)儲蓄水平、刺激資本積累來實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的長期增長。多馬經(jīng)濟(jì)增長模型的缺陷資本產(chǎn)量比不變的假定意味著資本和勞動力根本不能替代，這一假定是不現(xiàn)實的。該模型過于強(qiáng)調(diào)儲蓄和資本積累的作用，從而將經(jīng)濟(jì)增長推向“唯資本論”的方向。沒有考慮到技術(shù)進(jìn)步在經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的作用。政府干預(yù)的結(jié)論帶有濃厚的凱恩斯主義的色彩，而對市場機(jī)制的作用有所忽視。二、索洛（Solow,R.M.）經(jīng)

4、濟(jì)增長模型該模型假設(shè)儲蓄全部轉(zhuǎn)化為投資，即儲蓄-投資轉(zhuǎn)化率假設(shè)為1；投資的規(guī)模收益是常數(shù)；該模型修正了哈羅德-多馬模型的生產(chǎn)技術(shù)假設(shè)，采用了資本和勞動可替代的新古典科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。索洛模型假設(shè)：設(shè)Y(t)為t時刻的國民收入，K(t)為t時刻的資本存量，L(t)為t時刻的勞動力，索洛曾提出如下的經(jīng)濟(jì)增長模型：其中s為儲蓄率(s>0)，為勞動力增長率，為初始勞動力為K和L的一次齊次函數(shù)，稱為生產(chǎn)函數(shù).由（2）的前兩式，可得令――稱為資本勞動力比，表示單位勞動力平均占有的資本.將代入上式并利用可得為了求出方程(3)的解，需給出生產(chǎn)函數(shù)的具體形式.為此，下面取生產(chǎn)函數(shù)柯布―道格

5、拉斯(C0bb-Douglas)生產(chǎn)函數(shù)，即設(shè)其中均為常數(shù).易知將其代入（3）得伯努利（Bernoulli）方程形如的方程，稱為伯努利方程(它是由JamesBernoulli在1695年提出的)，可以化成一階線性方程來求解，其中n為常數(shù).將方程兩端除以，得到令有將(5)代入(4),得到這是一階線性方程，可以求解.求出后再用代回，即得伯努利方程的解.這是以為未知函數(shù)的伯努利方程.這是關(guān)于的一階線性方程，其通解為將代入上式，得如果則由上式有令則有于是有其中設(shè)索洛經(jīng)濟(jì)增長模型的一些結(jié)論與意義增長必須用人均數(shù)據(jù)（outputpercapita）來衡量，強(qiáng)調(diào)技術(shù)進(jìn)步時人均收入增長的源泉。

6、所有增長最終可以歸結(jié)到兩種途徑：資本（物質(zhì)和人力）積累和技術(shù)進(jìn)步。重新假定生產(chǎn)要素（資本與勞動）具有相互替代性，使資本—產(chǎn)出比由固定不變成為可變。強(qiáng)調(diào)市場機(jī)制在經(jīng)濟(jì)增長過程中的作用。無論經(jīng)濟(jì)處于什么樣的初始狀態(tài)，市場機(jī)制只要是完全的，就可以選擇合適的資本—產(chǎn)出比，保證充分就業(yè)。索洛模型的缺陷模型中假定資本與勞動力可以任意替代，以便生產(chǎn)要素可以充分利用，實現(xiàn)均衡增長，是不符合實際的。缺乏政策指導(dǎo)意義。認(rèn)為技術(shù)進(jìn)步是經(jīng)濟(jì)增長的決定因素，卻有假定技術(shù)進(jìn)步是外生變量，結(jié)果使得新古典模型對一些重要的增長事實無法解釋。