高階緊致格式.doc

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1、§10.高階緊致差分格式先考慮導(dǎo)數(shù)的差分近似。若某一差分近似的精度是階的，則近似的誤差就是。要想進(jìn)一步提高精度，通常有兩種途徑：減?。?version）或是提高（-version）。但由于計(jì)算機(jī)資源的限制，不可能無限地減小，因此在需要高精度流場計(jì)算的情形（如，粘性邊界層、湍流等），就要考慮采用高階格式。通常情形，構(gòu)造高階格式需要更多的點(diǎn)。例如：兩點(diǎn)差分近似只有一階精度。而使用三個(gè)點(diǎn)，就可以構(gòu)造出二階近似精度越高，需要的點(diǎn)就更多。對(duì)于中心差分近似也有類似的結(jié)果。但是這種高階近似用在差分格式中，除了計(jì)算公式更加

2、復(fù)雜，計(jì)算量增加之外，還會(huì)造成其他困難。例1：以一個(gè)簡單的常微分方程初值問題為例。設(shè)。（），取個(gè)網(wǎng)格，空間步長，網(wǎng)格點(diǎn)記作（），網(wǎng)格點(diǎn)上的近似解記作。因，導(dǎo)數(shù)采用向后差分近似，就有（）實(shí)際的計(jì)算方案為，（）上述格式用到兩個(gè)點(diǎn)，但只有一階精度。如果采用二階差分近似，則成為（）這個(gè)格式具有二階精度。可是由于涉及三個(gè)點(diǎn)，所以只能從開始計(jì)算。而初始條件只提供了。因此的計(jì)算就需要補(bǔ)充另外的等式。對(duì)于更為復(fù)雜的流動(dòng)控制方程以及更復(fù)雜、精度更高的數(shù)值格式，這種問題就更加嚴(yán)重?，F(xiàn)在我們從另外一個(gè)角度來考察上述問題。將導(dǎo)數(shù)的

3、近似值記作，則差分格式就可寫成我們剛才所做的不過是用不同的差分來代替。因此，我們遇到的困難就是：用高階差分代替，就會(huì)涉及更多的點(diǎn)。而我們的問題也就是：有沒有不涉及更多點(diǎn)的高階差分？我們借助算符演算來討論這一問題。例2：由可推出，于是有上式右端取第一項(xiàng)，就得到一階差分近似，即如果取前兩項(xiàng)，就得到二階近似即這些就是前面用到的向后差分近似。但如果繼續(xù)演算，有上式中的系數(shù)為零，因此取第一項(xiàng)相當(dāng)于取了前兩項(xiàng)，也能得到二階精度的近似。即注意到此式中只出現(xiàn)了的一次方，因此只涉及兩個(gè)點(diǎn)。上面導(dǎo)出了一個(gè)新的差分近似，是用差分

4、算子的有理分式表示的，因此稱為微分算子的有理函數(shù)近似（Pade逼近）。而通常的差分近似都是用多項(xiàng)式表示的。例3：由于是有上式右端取第一項(xiàng)，就得到二階精度的中心差分近似，即而取前兩項(xiàng)，就能得到四階精度的中心差分近似即但又有和前一個(gè)例子一樣，上式中只取第一項(xiàng)，就能得到四階精度的中心差分近似而且該差分近似只涉及三個(gè)點(diǎn)。以上的討論表明，有理函數(shù)近似可以達(dá)到我們?cè)瓉淼哪康?，即：有理函?shù)近似具有更高的精度，又不涉及更多的點(diǎn)。下面考慮微分算子有理函數(shù)近似在數(shù)值格式中的應(yīng)用。這種有理函數(shù)的表達(dá)式只是一種算符操作，在實(shí)際應(yīng)用

5、中就需要將有理分式化為整式，過程如下。例4：由有作用在函數(shù)上，即將算子展開，就是對(duì)中心差分近似也有類似地的結(jié)果。例5：由有作用在函數(shù)上，即將算子展開，就是以上兩個(gè)例子表明，有理函數(shù)給出的差分近似，會(huì)同時(shí)有多個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值出現(xiàn)，需聯(lián)立求解。而通常的差分近似，只出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，可逐點(diǎn)計(jì)算。這兩者之間的區(qū)別，類似于隱式格式與顯式格式的區(qū)別。正因?yàn)槿绱?，微分算子的有理函?shù)近似也稱為隱式差分近似。同時(shí)，由于涉及較少的點(diǎn)，通常又稱為緊致差分近似。例6：將例4中的緊致差分近似應(yīng)用于例1中給出的初值問題，（）整理后，

6、得到未知解的近似及其導(dǎo)數(shù)值近似的聯(lián)立方程組解得（）對(duì)于，利用原方程可給出初值，由此可見，在緊致差分格式的求解過程中，未知解的近似及其導(dǎo)數(shù)值的近似都是未知量，是需要聯(lián)立在一起求解的。上面的例子是一個(gè)兩點(diǎn)緊致格式，最終得到了一個(gè)遞推關(guān)系式，逐點(diǎn)計(jì)算。對(duì)于涉及三個(gè)甚至更多點(diǎn)的高階緊致格式，就需要將未知解的近似、、、及其導(dǎo)數(shù)值的近似、、、（如果原方程還包括二階導(dǎo)數(shù)，則還有二階導(dǎo)數(shù)值的近似、、、）全部放在一起聯(lián)立求解。因此，高階緊致格式中需要求解的未知量比較多，這是它的一個(gè)弱點(diǎn)。下面列出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)高階緊致差分

7、近似的一些結(jié)果。1.Pade逼近（三點(diǎn)四階）2.對(duì)稱緊致格式（五點(diǎn)六階）3.對(duì)稱緊致格式（五點(diǎn)八階）4.迎風(fēng)緊致格式（三點(diǎn)三階）5.迎風(fēng)緊致格式（五點(diǎn)五階）6.廣義緊致格式（對(duì)稱三點(diǎn)六階）上面給出的緊致差分近似，計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)的緊致差分里不會(huì)出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)的近似值，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)的緊致差分里也不會(huì)出現(xiàn)一階導(dǎo)數(shù)的近似值。如果突破這個(gè)限制，就成為廣義緊致差分近似。例如1.廣義緊致格式（迎風(fēng)兩點(diǎn)三階）最后給出一個(gè)實(shí)例。例7：考慮Burgers方程（對(duì)流擴(kuò)散方程）兩點(diǎn)邊值問題將空間區(qū)域均勻劃分成個(gè)網(wǎng)格，則空間網(wǎng)格的尺寸為

8、，網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)為（）。在時(shí)刻（，是時(shí)間步長），將未知函數(shù)及其空間導(dǎo)數(shù)在網(wǎng)格點(diǎn)上的近似值分別記作，，現(xiàn)假設(shè)上一時(shí)刻的近似解已經(jīng)求出，記成，在計(jì)算過程中視為已知。于是，在空間區(qū)域內(nèi)的第個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)（）處，有原方程的差分近似和空間導(dǎo)數(shù)的Pade逼近在左邊界處，有邊界條件原方程的差分近似以及空間導(dǎo)數(shù)的廣義緊致格式在右邊界處，有邊界條件在此處，原方程成為還有空間導(dǎo)數(shù)的廣義緊致格式將所有這些集成在一起，就得到線性方程組