函數(shù) 數(shù)列的極限.ppt

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1、第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)一、集合二、映射三、函數(shù)區(qū)間(有限和無(wú)限）一、集合其中,a稱(chēng)為鄰域中心,?稱(chēng)為鄰域半徑.點(diǎn)的?鄰域去心?鄰域左?鄰域:右?鄰域:二、映射定義域自變量因變量三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義.設(shè)數(shù)集則稱(chēng)映射為定義在D上的函數(shù),記為函數(shù)圖形:(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值定義域?qū)?yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域例4.已知函數(shù)求及解:函數(shù)無(wú)定義并寫(xiě)出定義域及值域.定義域值域2.函數(shù)

2、的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱(chēng)使稱(chēng)說(shuō)明:還可定義有上界、有下界、無(wú)界為有界函數(shù).在I上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱(chēng)f(x)無(wú)界.稱(chēng)為有上界稱(chēng)為有下界當(dāng)(2)單調(diào)性當(dāng)時(shí),稱(chēng)為I上的稱(chēng)為I上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(3)奇偶性且有若則稱(chēng)f(x)為偶函數(shù);若則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).說(shuō)明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,偶函數(shù)雙曲余弦又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記(4)周期性且則稱(chēng)為周期函數(shù),若稱(chēng)l為周期(一般指最小正周期).周期為?周期為注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x為有理數(shù)x為

3、無(wú)理數(shù)3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱(chēng)此映射為f的反函數(shù).1)y＝f(x)單調(diào)遞增(減)，其反函數(shù)且也單調(diào)遞增(減).性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).指數(shù)函數(shù)(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱(chēng)為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱(chēng)為中間變量.注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,函數(shù)鏈:但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合函數(shù)兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):1.2.與能否復(fù)合？是由與復(fù)合而得的。3.？4.

4、初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)4.初等函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次否則稱(chēng)為非初等函數(shù).并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱(chēng)為初等函數(shù).4.初等函數(shù)例如,可表為故為初等函數(shù).又如,雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0非初等函數(shù)舉例:取整函數(shù)當(dāng)分段函數(shù)例5.求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)榈谝徽露⑹諗繑?shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑

5、為r的圓,面積An逼近圓面積S.如圖所示,可知當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),An無(wú)限逼近S(劉徽割圓術(shù)).用其內(nèi)接正n邊形的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述:當(dāng)n>N時(shí),總有一、數(shù)列極限的定義$正整數(shù)N，定義1:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為數(shù)列,記作或稱(chēng)為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).觀察數(shù)列收斂觀察數(shù)列趨勢(shì)不定發(fā)散問(wèn)題:當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:當(dāng)n>N時(shí),總有定義2：若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:或則稱(chēng)該數(shù)列的極限為a,記作此時(shí)也稱(chēng)數(shù)列收斂,否則稱(chēng)數(shù)列發(fā)散.當(dāng)n>N時(shí),總有當(dāng)n>N時(shí),總

6、有即定義:幾何解釋:當(dāng)n>N時(shí),總有注：數(shù)列極限存在與否與前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)當(dāng)n>N時(shí),總有例1證所以,當(dāng)n>N時(shí),總有例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與?有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說(shuō)明:取例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為0.唯一性有界性保號(hào)性數(shù)列與子數(shù)列四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算法則（第五節(jié)）極限存在準(zhǔn)則(第六節(jié)）二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1、收斂數(shù)列的極限唯一.如何證明極限的唯一性呢？常用反證法證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),

7、有收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式使當(dāng)n>N時(shí),有例4.證明：數(shù)列發(fā)散.證:用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在.取則存在N,例4.證明數(shù)列是發(fā)散的.但因交替取值1與－1,而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開(kāi)區(qū)間內(nèi),因此該數(shù)列發(fā)散.2、極限的有界性定理說(shuō)明:此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.例如,數(shù)列雖有界但不收斂.收斂數(shù)列一定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.有a.b.c.3、極限的保號(hào)性定理000lim>>>$T>=￥?nnnxNnNax時(shí)，有

8、當(dāng)bxNnNbaxnnn>>>$T>=￥?時(shí)，有當(dāng)0limbabxaxnnn>T>=￥?且lim若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從