《初等數(shù)論》模擬試卷

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1、浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（G卷）一、填空（30分）1、d（1001）=6。σ（2002）=40322、有解的充要條件是。3、不能表示成5X+6Y（X、Y非負(fù)）的最大整數(shù)為19。4、2003！中末尾連續(xù)有499個(gè)零。5、（21a+4，14a+3）=1。6、通解為。7、兩個(gè)素?cái)?shù)的和是39，這兩個(gè)素?cái)?shù)是2、37。8、從1001到2000的所有整數(shù)中，13的倍數(shù)有77。9、p,q是小于是100的素?cái)?shù)，pq-1=x為奇數(shù)，則x的最大值是193。二、解同余方程組（12分）由孫子定理得三、證明費(fèi)爾馬定理。（10分）

2、四、明：設(shè)ｄ是自然數(shù)ｎ的正因子，則有（10分）答、設(shè)d是n的因子，則也是n的因子，而n的因子數(shù)為d（n）所以，所以即有五、Ｐ為奇素?cái)?shù)，則有（10分）答、由費(fèi)爾馬小定理知對(duì)一切整數(shù)有ap≡a（p）bp≡b(P)，由同余性質(zhì)知有ap+bp≡a+b(p)又由費(fèi)爾馬小定理有（a+b）p≡a+b(p)（a+b）p≡ap+bp(p)六、用初等方法解不定方程。（10分）答：由題意知x為偶數(shù)，設(shè)，則有即有由499為素?cái)?shù)有兩因子只能取，從而得七、解不定方程式15x+25y=-100.(8分)答：八、請(qǐng)用1到9這九個(gè)數(shù)中的六個(gè)

3、（不重復(fù)）寫出一個(gè)最大的能被6整除的六位數(shù)（10分）答：987654浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（A卷）一、填空（30分）1、d（1000）=16(2的3次*5的3次。φ（1000）=2340[（2∧4-1）]/(2-1)*[(5^4-1)]/(5-1)。()=__1____。2、ax+bY=c有解的充要條件是(a,b)/c。3、被3除后余數(shù)為1。4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，則[X—2Y+3Z]可能的值為3，4，5，6，7，8，9，10，11。5、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）=。6、高斯互反律

4、是，p，q為奇素?cái)?shù)。7、兩個(gè)素?cái)?shù)的和為31，則這兩個(gè)素?cái)?shù)是2和29。8、帶余除法定理是a和b是整數(shù)，b>=0,則存在唯一的整數(shù)，使得a=b*q+r,0=

5、剩余，即七、證無正整數(shù)解。（8分）八、設(shè)n是大于2的整數(shù)，證明為偶數(shù)（10分）答：假設(shè)有解，設(shè)（x，y，z）是一組正整數(shù)解，則有x是3的倍數(shù)，設(shè)x=3x1,又得到y(tǒng)為3的倍數(shù)，設(shè),又有，則有解且z>z1這樣可以一直進(jìn)行下去，z>z1>z2>z3>z4>…但是自然數(shù)無窮遞降是不可能的，于是產(chǎn)生了矛盾。浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（B卷）五、填空（30分）1、d（37）=2。σ（37）=38。2、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）=。3、不能表示成5X+3Y（X、Y非負(fù)）的最大整數(shù)為7。4、7在2004！中的最高冪

6、指數(shù)是331。5、（1501，300）=1。6、有解的充要條件是。7、威爾遜定理是P為素?cái)?shù)，。8、寫出6的一個(gè)絕對(duì)值最小的簡(jiǎn)化系1，5。9、被7除后的余數(shù)為5。一、解同余方程組（12分）答：二、證明當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，有.（10分）答：證明：因?yàn)?所以.于是,當(dāng)是奇數(shù)時(shí),我們可以令.從而有,即.三、如果整系數(shù)的二次三項(xiàng)式時(shí)的值都是奇數(shù)，證明沒有整數(shù)根（8分）答、由條件可得c為奇數(shù)，b為偶數(shù)如果p（x）=0有根q，若q為偶數(shù)，則有為奇數(shù)，而p（q）=0為偶數(shù)，不可能，若q為奇數(shù)，則有為奇數(shù)，而p（q）=0為偶數(shù)，也不

7、可能，所以沒有整數(shù)根四、解方程.（10分）解因?yàn)?45,132)=3|21,所以同余式有3個(gè)解.將同余式化簡(jiǎn)為等價(jià)的同余方程.我們?cè)俳獠欢ǚ匠?得到一解(21,7).因此同余式的3個(gè)解為,,七、證明：用算術(shù)基本定理證明是無理數(shù)。（10分）答：假設(shè)是有理數(shù)，則存在二個(gè)正整數(shù)p，q，使得=，由對(duì)數(shù)定義可得有3=,則同一個(gè)數(shù)左邊含奇數(shù)個(gè)因子，右邊含偶數(shù)個(gè)因子，與算術(shù)基本定理矛盾?！酁闊o理數(shù)。八、證明：對(duì)任何正整數(shù)ｎ,若ｎ不能被4整除，則有　5

8、（10分）答：則題意知n=4q+r，r=1，2，3。因?yàn)?1,i=1,

9、2,3,4所以有當(dāng)r=1時(shí)有當(dāng)r=2時(shí)有當(dāng)r=3時(shí)有從而證明了結(jié)論。七、解不定方程（10分）答：由觀察得有特解x=0，y=2所以方程的解為浙江師范大學(xué)《初等數(shù)論》考試卷（C卷）八、填空（30分）1、d（31）=2。σ（3600）=29。2、四位數(shù)被9整除，則A=7。3、17X+2Y=3通解為。4、費(fèi)爾馬大定理是無正整數(shù)解。5、寫出12的一個(gè)簡(jiǎn)化系，要求每項(xiàng)都是5的倍數(shù)5，25，35，55。6、=0．6。7、化為分