多個獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的最大值分布.pdf

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1、第17卷第1期武漢科技學(xué)院學(xué)報Vol.17No.12004年02月JOURNALOFWUHANUNIVERSITYOFSCIENCEANDENGINEERINGFeb.2004多個獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的最大值分布袁子厚，何小亞，梅家斌（武漢科技學(xué)院數(shù)理系，湖北武漢430073）摘要：求n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的最大值分布是概率論中常見的運(yùn)算。但是當(dāng)n很大時求最大值分布及其統(tǒng)計參數(shù)很繁，本文用漸近分布理論得知多個獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的最大值分布為極值Ⅰ型分布，再推導(dǎo)具體表達(dá)式，從而很容易求出其統(tǒng)計參數(shù)。關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；最大值分布；統(tǒng)計參數(shù)；極值Ⅰ型分布中

2、圖分類號：O174.53文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009－5160（2004）－0052－04設(shè)X1,X2,L,Xn是n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FXi(zi)(i=1,2,…,n),則M=max(X,X,L,X)的分布函數(shù)為F(z)=F(z)F(z)LF(z)[1]。當(dāng)n很大時，很難直接計算F(z)的分12nmaxX1X2Xnmax布形式及F(z)的統(tǒng)計參數(shù)。下面分析多個服從一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量的最大值分布。max定理1設(shè)原始分布F(x)是指數(shù)型分布，即limd[1-F(x)]=0,則最大項XN的分布函數(shù)FN（x）的極限x?￥dxf

3、(x)[2]分布為極值Ⅰ型分布。2(x-m)(x-m)21-2x1-設(shè)X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)f(x)=e2s,F(x)=2s2,ò-￥edx2ps2ps2￠é-(x-m)ù+￥12￠2s22￠êòedxúé(x-m)-(x-m)ù∵é1-F(x)ùx=2+￥12ê2psúêe2se2sdxúêú=ê(x-m)2úòx?f(x)?1-2ê?2psú?êe2súê?2psú?22(x-m)(x-m)2x-m+￥1-2=e2se2sdx-12òxs2ps(x-m)2+￥-(x-m)222s-edx2∵òx=-e2slim2limx?+￥(x-m)2x?+

4、￥(x-m)22(x-m)2-2s-2(x-m)s-e2s2s22s22-2e(-)+e(-s)(x-m)2x-m2sx-m=lim1=1x?+￥s21+2(x-m)收稿日期：2004-01-08作者簡介：袁子厚(1966-)，男，副教授，研究方向：工程結(jié)構(gòu)可靠性.第1期袁子厚，等：多個獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的最大值分布53￠∴l(xiāng)imé1-F(x)ù=0êúx?￥?f(x)?2∴若X1,X2,?,Xn服從一般正態(tài)分布N(m,s)，隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn的最大值分布為極值Ⅰ型分布。定理2設(shè)X,X,L,X是獨(dú)立的同分布的變量，最大值為,Y，g(y)=n

5、[1-F(y)]，則當(dāng)n很大12nnX時，F(xiàn)(y)=exp[-g(y)]。Yn證明：∵X,X,L,X是獨(dú)立的同分布的變量，且最大值為Y，12nn∴FYn(x)=P(Yn

6、)]}YnXXXnnxn=1-(1-)nxln(1-)xnQlimnln(1-)=lim=-xn?￥nn?￥1n-x當(dāng)n?￥時,Fx(x)=1-eLLLL(2)（2）n由(1)可知：-1(1xn),(-1()為Y(·)的逆函數(shù))且x隨Y增加而減少，Yn=FX-FX·Xnnn∴當(dāng)n很大時，F(xiàn)(y)=P(Yg(y)](其中g(shù)(y)=n[1-FX(y)])=1-F(g(y))=exp[-g(y)](由(2)可知)LLL(3)（3）xn定

7、理3若X'服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),隨機(jī)變量'1'Y'，則當(dāng)n充分大時，Y'的X1,X2,L,Xn的最大值為nn分布函數(shù)'''F(y')=exp{-e-an(y-un)},'Ynlnlnn+ln4p其中，u￠=2lnn-n22lnna￠=2lnnn54武漢科技學(xué)院學(xué)報2004年z21x-證明：∵X'服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),∴分布函數(shù)為：F(x)=e2dzX￠ò-￥2p又隨機(jī)變量X',X1,L,X'的最大值為'，令[1()]Yx=n-FY￠12nnnXnY￠z2+￥z2n1-n-x=n[1-e2dz]=e2dznòò2p-￥2pY1n[3]解

8、得：lnlnn+ln4plnxnY￠=2lnn--（n較大時）。(4)n22lnn2lnnln