資源描述：
《獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布.pdf》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第十周獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布與順序統(tǒng)計量10.1.獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布泊松分布和二項分布的可加性若XP~???，XP~???,,XP~???，且XX,,,X相互獨(dú)立，1122mm12m則XX?X?P????~?????1212mmXBnp11~,??，XPnp22~,??,,XPnmm~,p??，且XX12,,,Xm相互獨(dú)立，則XX?X?Bn???n?np~,??1212mm回顧一下，第7周第3講的最后，我們曾經(jīng)介紹過泊松分布和二項分布的可加性。本節(jié)我們更一般地考慮獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布，并引入卷積公式。下一周課我們要介紹大數(shù)定律和中心極限定理等概率
2、論的極限理論，在極限理論的研究中，經(jīng)常需要考慮獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布問題。本節(jié)中，我們主要討論兩個獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布問題。**********************************************************相互獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量和的分布離散型隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，分布律分別為PX(),()x?x?X?和PY(?y),y?Y()?，iiijZXY??也是一個離散型隨機(jī)變量，其值域Z(){??x?y:x?X(),?y?Y()}?，對所有的zZ??()有ijijkPZ(?zkk)?PXY(??z)?????PX(,
3、)xYzikxixXi??()?????PX()(xPY)ikizxxXi??()或互換X和Y的位置，得到PZ(?zk)??PX(?zk?yPYj)(?yj).yYj??()**********************************************************例10.1.1兩位射手各向自己的靶子獨(dú)立射擊，直到自己有一次命中時，停止射擊。假設(shè)兩位射手每次命中概率分別為p和p。求兩射手均停止射擊時，他們12脫靶（未命中）總數(shù)的分布。解：記X和X分別為兩位射手首次命中自己的靶子時所射擊的次數(shù)，12則XGep11~()，XG
4、ep22~()，且XX12,相互獨(dú)立。記X為兩射手均停止射擊時的脫靶總數(shù)，則X?(X12?1)(?X?1)，對n?0,1,2,n?1PX()(2)n?PX????Xn12??????PX(,2)kX12nkk?1n?1???????PX()(2k12)PXnkk?1n?1n?1qn1?p??qpqkn?k??11pnk1?1nk1?1122?ppq122?()??pp122p(1)()?k?1k?1q2k?01?p2當(dāng)pp?時，pp12nn??1112PX(?n)?????(1?p21)?(1?p)pp?122n當(dāng)pp?時，PX()(n?n1)?
5、p?p(1?)1211**********************************************************卷積公式相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量X、Y的概率密度函數(shù)分別為fx()和fy()，XY則ZXY??的概率密度函數(shù)為????f()z??f()xfz(xdx)??f(zyf)()ydy。Z???XY???XY這一公式的證明需要二重積分，這里略去。本課程中我們就不加證明地使用這一公式。**********************************************************n例10.1.2設(shè)隨
6、機(jī)變量XX12,,,Xn獨(dú)立同分布，且XExp1~()?，記SXni??，i?1求S的分布。n解：先計算SX??X。當(dāng)z?0時，fz()0?；當(dāng)z?0時，利用卷積公式，212S2??zz?????xzx()2??z2??zfzfx()fzxdx()???()????eedx??edx??ze。SX21X2????0?0再計算SSX??，當(dāng)z?0時，fz()0?；當(dāng)z?0時，對S和X再使用卷積323S323公式，??fzfxf()()??zxdx()S3X1X23X????zz12332?????x??zx??zz()???????xe??edxx
7、edxze002nnz??1???zen?,,z?0最后，可以歸納證明，SXni??的概率密度函數(shù)為fzS()??()!n?1ni?1??00,.z?直接用卷積公式來計算多個獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布往往是非常繁瑣的，數(shù)學(xué)家引入了矩母函數(shù)和特征函數(shù)等工具簡化計算，而理解和應(yīng)用這些工具，還需要多元積分、復(fù)變函數(shù)等更多的數(shù)學(xué)知識。**********************************************************
