多元函數(shù)極值的充分條件.doc

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1、多元函數(shù)極值的充分條件馬麗君（集寧師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）我們知道，一元函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充分條件是：函數(shù)在點(diǎn)處具有一階二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是駐點(diǎn)，即。若，則為的極小值點(diǎn)（或極大值點(diǎn)）對(duì)于多元函數(shù)，其中，有與上面一元函數(shù)取得極值的充分條件相對(duì)應(yīng)的結(jié)論。定義1.設(shè)元函數(shù)，其中，對(duì)各自變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)為的梯度，記作。引理設(shè)元函數(shù)，其中，對(duì)各自變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)取得極值的必要條件是：證明：引理成立是顯然的，即極值點(diǎn)函數(shù)可導(dǎo)，則該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)等于零。定義2.設(shè)元函數(shù)，對(duì)各自變量具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的駐點(diǎn)，現(xiàn)定義在點(diǎn)處的矩陣為：由于各二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即，所以為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩

2、陣。定理設(shè)元函數(shù)，其中，具有對(duì)各自變量的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的駐點(diǎn)，則（1）當(dāng)正定時(shí)，是的極小值點(diǎn)；（2）當(dāng)負(fù)定時(shí)，是的極大值點(diǎn)；（3）當(dāng)不定時(shí)，不是的極大值點(diǎn)證明：由在點(diǎn)處的泰勒公式其中，是其中，比高階的無(wú)窮小對(duì)于駐點(diǎn)，由引理結(jié)果，則上述泰勒展開(kāi)式又可寫(xiě)為：由此可見(jiàn)，當(dāng)正定時(shí)，在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)就有，即。故為的極小值點(diǎn)。同理可知：當(dāng)負(fù)定時(shí)，為的極大值點(diǎn)：對(duì)不定時(shí)情況，本文不再詳細(xì)討論。