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《求解非線性方程的迭代算法研究.doc》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、.專業(yè)整理.求解非線性方程的迭代算法研究XX(XX學(xué)院XX專業(yè)XX班,陜西XX72X000)指導(dǎo)教師:XX[摘要]在利用數(shù)學(xué)工具研究社會現(xiàn)象和自然現(xiàn)象,或解決工程技術(shù)等問題時,很多問題都可以歸結(jié)為非線性方程的求解問題,無論在理論研究方面還是在實際應(yīng)用中,求解非線性方程都占了非常重要的地位.迭代法是求解非線性方程根的一種最重要的方法,而迭代法的優(yōu)劣對于非線性問題求解速度的快慢和結(jié)果的好壞都有很大的影響,所以從實際出發(fā),進行高計算效能迭代算法的研究具有重要的科學(xué)價值和實際意義.[關(guān)鍵詞]牛頓法;迭代法;非線性方程;收斂的
2、階;.學(xué)習(xí)幫手..專業(yè)整理.目錄1引言32基礎(chǔ)知識43NEWTON迭代法53.1Newton迭代法的推導(dǎo)53.2Newton迭代法的收斂74其它迭代格式和變形的牛頓法104.1其它的迭代的格式104.2變形的牛頓法11結(jié)束語錯誤!未定義書簽。參考文獻13ZUODIAN14Tutor:QuanShuangYan14.學(xué)習(xí)幫手..專業(yè)整理.1引言近幾十年來,數(shù)值工作者們不斷在原有的迭代法基礎(chǔ)上的提出一些新的迭代格式,事實上這些新方法大多是根據(jù)實際情況的需要對經(jīng)典的迭代格式進行修正和變形,因此Newton法等一系列經(jīng)典的迭
3、代法就成為我們討論新的迭代方法的起點.數(shù)學(xué)家們對這些方法都做了很深入的研究,關(guān)于這方面的文章著作也是數(shù)不勝數(shù),其中有非常豐富的理論結(jié)果和證明技巧是可以借鑒的.最基本的迭代法,自然對我們的討論也是最核心的,所以在就來重點討論Newton迭代法..學(xué)習(xí)幫手..專業(yè)整理.2基礎(chǔ)知識非線性方程,就是因變量與自變量之間的關(guān)系不是線性的關(guān)系,這類方程很多,例如平方關(guān)系、對數(shù)關(guān)系、指數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)關(guān)系等等.求解此類方程往往很難得到精確解,經(jīng)常需要求近似解問題.在利用數(shù)學(xué)工具研究社會現(xiàn)象和自然現(xiàn)象,解決物理、化學(xué)、生物、工程技術(shù),
4、甚至社會經(jīng)濟等實際問題時,往往都可以歸結(jié)為求解某個非線性方程(1.1)的根的問題.就方程(1.1)的形式而言,可能是次多項式:也可能是由多種函數(shù)組成的非線性方程.譬如:在人口增長模型中假設(shè)某一地區(qū)人口的數(shù)量隨時間連續(xù)增長,即,其中N(t)表示該地區(qū)在t時刻的人口總數(shù),為人口增長率常數(shù).該微分方程的解為,其中N0為該地區(qū)的初始人口總數(shù).但上述模型沒有考慮到外部移民的遷入的情況,若允許移民以某常速率u進入該地區(qū),則微分方程是’其解為:.現(xiàn)假設(shè)某地區(qū)有100萬人口,第一年內(nèi)有43.5萬移民遷入,第一年末總計人口156.4萬
5、.根據(jù)上述數(shù)據(jù)可以推算出該地區(qū)的增長率常數(shù)滿足方程:、上面這個微分方程的解析解比較容易求出,所以求解這類問題就可轉(zhuǎn)化為求解非線性方程的問題.談到解非線性方程,就不得不提迭代法,它是最有效最便利的求解方法.迭代法就是從預(yù)知的解的初始近似值(簡稱初值)開始,采用某種迭代格式構(gòu)造一近似值序列逐步逼近于所求方程的真解.對方程(1.1)求近似根,先將其改寫成等價的方程:(1.2).學(xué)習(xí)幫手..專業(yè)整理.所謂等價就是:如果是方程(1.1)的根,那么;反之如果滿足方程(1.2),那么.最簡單的等價變換是令,當(dāng)然還可以根據(jù)的特點來變
6、換.稱為迭代函數(shù),為函數(shù)的一個不動點,求的零點就等價于求的不動點.選擇一個初始近似值,將它代入(1.2)式右端,即可求得.可以如此反復(fù)迭代計算(1.3)如果得到的序列有極限則迭代方程(1.3)收斂,我們稱(1.3)為不動點迭代法.不動點迭代法是最簡單的迭代法,它是一種逐次逼近的方法.其基本思想是將隱式方程(1.2)歸結(jié)為一組顯示的計算公式(1.3),就是說迭代過程實質(zhì)上是一個逐步顯示化的過程.但是迭代序列能否作為方程的根的好的近似,或者能否收斂于,以及能否快速的收斂到呢?這些都是我們后面所要探討的問題.對于一種解法,
7、為了考察它的有效性,一般都要討論它的收斂性和收斂速度,即考慮在什么樣的條件下構(gòu)造的序列是收斂的,以及序列中的近似值是按什么樣的誤差下降速度來逼近真解的.迭代過程的收斂條件,一般與方程的性態(tài)(函數(shù)在解附近的性質(zhì),零點的分布狀態(tài)等)以及初值的近似度有關(guān),而某些方法僅與初值的近似度有關(guān),故有時也稱收斂條件為收斂范圍.迭代過程的收斂速度,是指在接近收斂過程中近似值誤差的下降速度.一般來說,它主要由方法所決定,方程的性態(tài)也會有一些影響.如果由一種迭代解法構(gòu)造出來的近似值序列與解的誤差為或者,當(dāng)充分接近于解時有關(guān)系式當(dāng)r>1時,
8、稱該迭代法具有階的收斂速度.通常具有階收斂速度的算法,當(dāng)接近收斂時其近似值的誤差將按冪次為r的速度下降.因此越大,誤差就下降的越多,收斂速度就越高;越小,誤差就下降的越少,收斂速度就越低..學(xué)習(xí)幫手..專業(yè)整理.3Newton迭代法3.1Newton迭代法的推導(dǎo)對于求解非線性方程(2.1)的零點問題,有很多種迭代方法,其中最為著名的就是Newt