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1、基于ABAQUS的懸臂梁的彈塑性彎曲分析學(xué)院：航空宇航學(xué)院專業(yè)：工程力學(xué)指導(dǎo)教師：姓名：學(xué)號：101.問題描述考慮端點受集中力F作用的矩形截面的懸臂梁，如圖1所示，長度l=10m，高度h=1m，寬度b=1m。材料為理想彈塑性鋼材（如圖2），并遵守Mises屈服準(zhǔn)則，屈服強度為，彈性模量，泊松比。圖1受集中力作用的懸臂梁圖2鋼材的應(yīng)力-應(yīng)變行為首先通過理論分析理想彈塑性材料懸臂梁的彈塑性彎曲，得到懸臂梁的彈塑性彎曲變形的規(guī)律和塑性區(qū)形狀，確定彈性極限載荷和塑性極限載荷；其次利用ABAQUS模擬了該懸臂梁受集中載荷作用的變形過程，得出彈性極限載荷、塑性極限載荷、塑性區(qū)形狀和載荷-位移曲線，與理
2、論分析的結(jié)果進行對比，驗證有限元分析的準(zhǔn)確性。2.理論分析2.1梁的彈塑性純彎曲對于矩形截面Euler-Bernoulli梁，受彎矩M作用，如圖3所示，根據(jù)平截面假定，有圖3矩形截面梁受彎矩M的作用（1）10其中為彎曲后梁軸的曲率，規(guī)定梁的撓度以與y同向為正，則在小變形情況有（2）當(dāng)彎矩M由零逐漸增大時，起初整個截面都處于彈性狀態(tài)，這是Hooke定律給出（3）再由平衡方程，可得到（4）其中，是截面的慣性矩。將帶入（3）式，可知顯然，最外層纖維的應(yīng)力值最大。當(dāng)M增大時，最外層纖維首先達到屈服，即（5）這時的彎矩是整個截面處于彈性狀態(tài)所能承受的最大彎矩，即為彈性極限彎矩，它等于（6）對應(yīng)的曲率
3、可由式（4）求得（7）當(dāng)時，梁的外層纖維的應(yīng)變繼續(xù)增大，但應(yīng)力值保持為不再增加，塑性區(qū)將逐漸向內(nèi)擴大。彈塑性的交界面距中性面為。在彈性區(qū)：，；在塑性區(qū)：，在彈塑性區(qū)的交界處，，因而，由此可求出此時的曲率和彎矩分別為10（8）（9）從這兩個式子消去，可得時的彎矩-曲率關(guān)系為（10）或（12）當(dāng)M繼續(xù)增加使得時，截面全部進入塑性狀態(tài)。這時，而。當(dāng)梁的曲率無限增大時，彎矩趨向一極限值，此極限值即為塑性極限彎矩?？傻镁匦谓孛媪旱乃苄詷O限彎矩為（13）采用以下量綱為一的量：，（14）矩形截面梁的彎矩-曲率關(guān)系可以寫成（15）2.2梁在橫向載荷作用下的彈塑性彎曲考慮端點受集中力F作用的矩形截面懸臂梁，
4、若（本例中滿足此要求），則梁中的剪應(yīng)力可以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用彈塑性純彎曲的分析結(jié)果來研究橫向載荷作用下的彈塑性彎曲問題。本例中，顯然根部彎矩最大，因而根部截面的最外層纖維（圖1中的A點與B點）應(yīng)力的絕對值最大。當(dāng)F增加時，A、B點將進入塑性，這時的載荷是梁的彈性極限載荷（16）10當(dāng)時，彎矩仍沿梁軸方向呈線性分布。設(shè)在處有，則。在范圍內(nèi)的各截面，都有部分區(qū)域進入塑性，且由式（9）可知各截面上彈塑性區(qū)域的交界線決定于（17）其中已用到。式（17）證明，彈塑性區(qū)域的交界線是兩段拋物線。當(dāng)時，梁的根部（x=0）處的彎矩達到塑性極限彎矩，即,這時梁內(nèi)塑性區(qū)如圖4中的陰影部分所
5、示，且塑性區(qū)域分界線連接成一條拋物線，梁的根部形成塑性鉸。這時，由于根部的曲率可以任意增長，懸臂梁喪失了進一步承載的能力。因此，即為懸臂梁的極限載荷，懸臂梁不能承受超過的載荷。圖4受集中力作用的懸臂梁在小撓度情形下，利用的關(guān)系可以求得梁的撓度。具體來說，在懸臂梁受端部集中載荷的問題中，以帶入式（15）可得10（18）其中，，，，，利用邊界條件和在處的關(guān)于y和的連續(xù)性條件，可對式（18）積分兩次，得到梁端撓度的表達式（19）其中是f=1（即）時的，可按材料力學(xué)方法求出為（20）當(dāng)（即）時，式（19）給出相應(yīng)的梁端撓度為（21）代入題目所給數(shù)據(jù)可得到3.有限元分析3.1有限元模型此問題屬于平面
6、應(yīng)力問題，采用二維有限元模型，選取平面圖形作為分析模型，其長度l=10m，高度h=1m。3.2材料屬性定義10圓筒材料為鋼材，彈性模量200Gpa，屈服強度380Mpa，泊松比0.3，截面屬性選用實體、勻質(zhì)，采用理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系。3.3分析步的定義由于是非線性分析，Step中設(shè)置分析過程和輸出要求選擇靜態(tài)分析，最小分析步取0.05，最大分析步取0.1，輸出要求采用默認(rèn)輸出。3.4載荷施加和邊界條件布置載荷邊界條件和位移邊界條件，將模型左端固支，右上端頂點施加集中力載荷。3.5網(wǎng)格劃分按照四節(jié)點四邊形平面應(yīng)力單元CPS4I（如圖5）劃分網(wǎng)格，定義不同大小位移載荷進行分析計算，分析采用Mis
7、es準(zhǔn)則。圖5懸臂梁的有限元網(wǎng)格3.6結(jié)果及分析3.6.1彈性極限載荷和塑性載荷壓力的確定當(dāng)取時，等效塑性應(yīng)變分布如圖6所示，結(jié)構(gòu)的等效塑性應(yīng)變均為0，可以看出系統(tǒng)處于彈性狀態(tài)并未產(chǎn)生塑性應(yīng)變，此時懸臂梁處于彈性階段。10圖6等效塑性應(yīng)變云圖當(dāng)取時，等效塑性應(yīng)變分布如圖7所示，最大等效塑性應(yīng)變均為3.811e-6，最小等效塑性應(yīng)變?yōu)?，可以看出系統(tǒng)部分處于彈性狀態(tài)，部分處于塑性階段，此時結(jié)構(gòu)處于彈塑性階段。圖7等效塑性應(yīng)
