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《等比數(shù)列和其前n項和.doc》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、三好高中生(ID:sanhao-youke),為高中生提供名師公開課和精品資料。等比數(shù)列及其前n項和編稿:張希勇審稿:李霞【學(xué)習(xí)目標】1.掌握等比數(shù)列的定義,理解等比中項的概念;掌握等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo);2.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式及公式證明思路;會用它們靈活解決有關(guān)等比數(shù)列的問題;3.能在具體的問題情境中,識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.【要點梳理】要點一、等比數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的
2、比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比;公比通常用字母表示(),即:.要點詮釋:①由于等比數(shù)列每一項都可能作分母,故每一項均不為0,因此q可不能是0;②“從第二項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)”,這里的項具有任意性和有序性,常數(shù)是同一個;③隱含條件:任一項且;“”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件;④常數(shù)列都是等差數(shù)列,但不一定是等比數(shù)列。不為0的常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列;⑤證明一個數(shù)列為等比數(shù)列,其依據(jù).利用這種形式來判定,就便于操作了.要點二、等比中
3、項如果三個數(shù)、、成等比數(shù)列,那么稱數(shù)為與的等比中項.其中。要點詮釋:①只有當與同號即時,與才有等比中項,且與有兩個互為相反數(shù)的等比中項.當與異號或有一個為零即時,與沒有等比中項。②任意兩個實數(shù)與都有等差中項,且當與確定時,等差中項唯一.但任意兩個實數(shù)與不一定有等比中項,且當與有等比中項時,等比中項不唯一。③當時,、、成等比數(shù)列。④是、、成等比數(shù)列的必要不充分條件。要點三、等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的通項公式三好高中生,學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題,你需要的這里都有!三好高中生(ID:sa
4、nhao-youke),為高中生提供名師公開課和精品資料。首相為,公比為的等比數(shù)列的通項公式為:推導(dǎo)過程:(1)歸納法:根據(jù)等比數(shù)列的定義可得:∴;;;……當n=1時,上式也成立∴歸納得出:(2)疊乘法:根據(jù)等比數(shù)列的定義可得:,,,……,把以上個等式的左邊與右邊分別相乘(疊乘),并化簡得:,即又a1也符合上式三好高中生,學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題,你需要的這里都有!三好高中生(ID:sanhao-youke),為高中生提供名師公開課和精品資料?!?(3)迭代法:∴.要點詮釋:①通項公
5、式由首項和公比完全確定,一旦一個等比數(shù)列的首項和公比確定,該等比數(shù)列就唯一確定了。②通項公式中共涉及、、、四個量,已知其中任意三個量,通過解方程,便可求出第四個量。等比數(shù)列的通項公式的推廣已知等比數(shù)列中,第項為,公比為,則:證明:∵,∴∴由上可知,等比數(shù)列的通項公式可以用數(shù)列中的任一項與公比來表示,通項公式可以看成是時的特殊情況。要點四、等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)過程:(1)利用等比性質(zhì)由等比數(shù)列的定義,有根據(jù)等比性質(zhì),有三好高中生,學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題,你
6、需要的這里都有!三好高中生(ID:sanhao-youke),為高中生提供名師公開課和精品資料?!喈敃r,或.(2)錯位相減法等比數(shù)列的前n項和,①當時,,;②當時,由得:∴或.即要點詮釋:①錯位相減法是一種非常常見和重要的數(shù)列求和方法,適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積組成的數(shù)列求和問題,要求理解并掌握此法.②在求等比數(shù)列前項和時,要注意區(qū)分和.③當時,等比數(shù)列的兩個求和公式,共涉及、、、、五個量,已知其中任意三個量,通過解方程組,便可求出其余兩個量.要點五、等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列的公比
7、為①若,且,則,特別地,當時.②下標成等差數(shù)列且公差為的項,,,…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列,公比為.③若,是項數(shù)相同的等比數(shù)列,則、、(是常數(shù)且)、、三好高中生,學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題,你需要的這里都有!三好高中生(ID:sanhao-youke),為高中生提供名師公開課和精品資料。(,是常數(shù))、、也是等比數(shù)列;④連續(xù)項和(不為零)仍是等比數(shù)列.即,,,…成等比數(shù)列.要點六、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中,,若設(shè),則:(1)當時,,等比數(shù)列是非零常數(shù)列。它的圖象是在直線上均勻排列的
8、一群孤立的點.(2)當時,等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù);它的圖象是分布在曲線()上的一些孤立的點.①當且時,等比數(shù)列是遞增數(shù)列;②當且時,等比數(shù)列是遞減數(shù)列;③當且時,等比數(shù)列是遞減數(shù)列;④當且時,等比數(shù)列是遞增數(shù)列。(3)當時,等比數(shù)列是擺動數(shù)列。要點詮釋:常數(shù)列不一定是等比數(shù)列,只有非零常數(shù)列才是公比為1的等比數(shù)列.【典型例題】類型一:等比數(shù)列的定義與通項公式例1.已知數(shù)列的首項為……,證明:數(shù)列是等比數(shù)列.【解析】由得,∴又三好高中生,學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考