序偶與集合的笛卡爾積-集合與關系-離散數學.ppt

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1、序偶與集合的笛卡爾積1目標：計算集合的笛卡爾積。要求：1、理解概念；2、掌握序偶和笛卡爾積的定義和性質。2一、序偶與有序n元組兩個具有固定次序的客體x、y組成序偶，也稱為有序二元組，記作；稱x、y分別為序偶的第一，第二元素。固定次序是指調換第一和第二元素位置后，含義不同。注意，第一、二元素未必不同。1.定義：說明<2,3><3,2><1,-2><-2,1><-4,-3>3序偶的性質（1）當x≠y時，≠。{x,y}={y,x}（2）序偶二個元素可以重復，即也是序偶。無{x,x}（3）序偶中兩

2、個元素可以來自不同的集合。：x∈A,y∈B{x,y}∈A（4）序偶與集合的統一：={{x},{x,y}}（5）序偶相等的定義：(?x,y?=?u,v?)?(x=u)∧(y=v)由序偶相等的定義有x+2＝52x+y＝4解得x＝3,y＝-2。解答例已知＝<5,2x+y>，求x和y。4序偶的推廣：有序N元組定義由N個元素x1,x2,…,xn-1,xn按照一定的次序組成的N元組稱為有序N元組，記為。xi叫做該n元組的第i個分量i=1,…,n。有序N元組與序偶的關系：

3、…,xn-1,xn>=??x1,x2,…,xn-1?,xn?三元組?x1,x2,x3?=??x1,x2?,x3?四元組?x1,x2,x3,x4?=??x1,x2,x3?,x4?=?,x3>,x4?注意：??x1,x2?,x3?≠?x1,?x2,x3????x1,x2,x3?,x4?≠?x1,?x2,x3,x4????x1,x2,x3,x4?,x5?≠?x1,?x2,x3,x4,x5??例如：a年b月c日d時e分f秒，可用六元組表示5定義：兩個n元組相等設?x1,x2,…,xn?與?y1,y2,…,

4、yn?是兩個n元組，如果xi=yi，i=1,…,n，則稱這兩個n元組相等，記為?x1,x2,…,xn?=?y1,y2,…,yn?。用邏輯的方法表示為(?x1,x2,…,xn?=?y1,y2,…,yn?)?(x1=y1)∧(x2=y2)∧…∧(xn=yn)。??6二、集合的笛卡爾積引例“斗獸棋”虎象獅豹狼鼠貓狗虎象獅豹狼鼠貓狗每個棋子可以看成一個序偶:<紅,象>,<紅,獅>,<紅,虎>,<紅,豹>,<紅,狼>,<紅,狗>,<紅,貓>,<紅,鼠>,<藍,象>,<藍,獅>,<藍,虎>,<藍,

5、豹>,<藍,狼>,<藍,狗>,<藍,貓>,<藍,鼠>可看成是由兩種顏色的集合A和8種動物的集合B做運算得到的。A={紅,藍}B={象,獅,虎,豹,狼,狗,貓,鼠}斗獸棋可記成集合：}{斗獸棋可記成集合：7補充的定義:A和B的笛卡爾積或直積設A、B是集合，由A的元素為第一元素，B的元素為第二元素組成的所有序偶的集合，稱為A和B的笛卡爾積或直積，記作A×B，即A?B={

6、x?A∧y?B}?A?B?x?A∧y?B?A?B?x?A∨y?B例如：A表示某大學所有學生的集合，B表示大學開設的所有課程的集合。則A×B可以用

7、來表示該校學生選課的所有可能情況。1、集合的笛卡爾積的定義8A?B={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}B?A={,,,,,}A?A={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>}可見A×B≠B×A集合的笛卡爾積運算不滿足交換律。例：A={0,1}，B={a,b}，C={z}(A?B)?C={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}×{z}={<0,a,z>,<0,b,z

8、>,<1,a,z>,<1,b,z>}A?(B?C)={0,1}?{,}={<0,>,<0,>,<1,>,<1,>}(A?B)?C={<,z>

9、?A?B∧z?C}A?(B?C)={>

10、x?A∧?B?C},可見(A?B)?C?A?(B?C)。集合的笛卡爾積運算也不滿足結合律。例：設A={0,1,2}，B={a,b}，求A?B，B?A，A?A。

11、A?B

12、=6=

13、B?A

14、

15、A?A

16、=991)如果A、B都是有限集，且

17、A

18、=m,

19、B

20、=n，則

21、

22、A?B

23、=m?n.證明：由笛卡爾積的定義及排列組合中的乘法原理，直接推得此定理。2)A?Φ=Φ?B=Φ3)?對∪和∩滿足分配律。設A,B,C是任意集合，則①A?(B∪C)=(A?B)∪(A?C