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《集合的運(yùn)算-集合與關(guān)系-離散數(shù)學(xué).ppt》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在PPT專區(qū)-天天文庫。
1、集合的運(yùn)算1一、定義設(shè)A、B是兩個集合，={x
2、x∈A∨x∈B}x∈A∪B?x∈A∨x∈B={x
3、x?A∧x?B}x∈A∩B?x∈A∧x∈B={x
4、x∈A∧x?B}x∈A-B?x∈A∧x?B={x
5、x∈E∧x?A}={x
6、x?A}x∈~A?x?A??(x∈A)={x
7、((x?A)∧(x?B))∨((x?B)∧(x?A))}A?B=(A-B)∪(B-A)A?B=(A∪B)-(A∩B)EAB差集EAB交集補(bǔ)集EA并集EAB(1)并集A∪B(2)交集A∩B(3)差集A-B(4)補(bǔ)集~A(5)對稱差集A?B2例：A={4,{1,2},{3}},B={
8、{3},{1,2,3},4,{1,2},{1}}則：A∩B={4,{1,2},{3}}=AA∪B={4,{1,2},{3},{1,2,3},{1}}=BA-B=ΦB-A={{1,2,3},{1}}3二、集合的運(yùn)算律等冪律:A∪A=A；A∩A=A；交換律:A∪B=B∪A;A∩B=B∩A結(jié)合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；恒等律:A∪Φ=A；A∩E=A；零 律:A∪E=E；A∩Φ=Φ；分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)吸收律:A∩(A∪B)=A;A∪(A∩B)=
9、A；集合的運(yùn)算律是指集合的交、并、補(bǔ)、差等運(yùn)算的主要性質(zhì)，也稱為集合的基本定律。4定理否定律：~~A=A；德摩根定律：~(A∩B)=~A∪~B~(A∪B)=~A∩~B矛盾律：A∩~A＝Φ；排中律：A∪~A＝E。其他：A-A=Φ；A-B=A-(A∩B)；A-B=A∩~B;(A-B)-C=A-(B∪C)；A∪(B-A)=A∪B；EAB5三、證明集合相等的四種方法方法一：命題演算法（邏輯等價式和推理規(guī)則）方法二：等式代入法(假設(shè)交換律、分配律、同一律、零律已經(jīng)成立)方法三：證明出：A?B且B?A，則A=B。方法四：反證法6三、證明集合相等的四種方法
10、方法一：命題演算法（邏輯等價式和推理規(guī)則）例：證明A∪(A∩B)=A（吸收律）證任取x,x?(A∪(A∩B))?x?A∨x?(A∩B)?x?A∨(x?A∧x?B)?x?A因此得A∪(A?B)=A。方法二：等式代入法(假設(shè)交換律、分配律、同一律、零律已經(jīng)成立)例證明吸收律A∪(A∩B)=(A∩E)∪(A∩B)=A∩(E∪B)=A∩E=A7集合等式的證明方法三：證明出：A?B且B?A，則A=B依據(jù)：定理3-1.1A=B，當(dāng)且僅當(dāng)A?B且B?A。例如：（P91定理3-2.5的證明方法）方法四：反證法假設(shè)不等，推出矛盾。8分析：(?x)(x∈A∩B?
11、x∈A)?(?x)(x∈A?x∈B)證明：A∩B=A，?(?x)(x∈A∩B?x∈A)?(?x)((x∈A∩B?x∈A)∧(x∈A?x∈A∩B))?(?x)((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B))?(?x)((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))?(?x)(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)))?(?x)(T∧(T∧(x?A∨x∈B)))?(?x)(x?A∨x∈B)?(?x)(x∈A?x∈B)?A?B證明P90定理3-2.3：A∩B=A?A?B9四、證明A?B的四種方法：方法一：A
12、和B是用枚舉方式定義的：依次檢查A的每個元素是否在B中出現(xiàn)。方法二：通過集合運(yùn)算判斷A?B：即A∪B=B,A∩B=A,A?B=?三個等式中有一個為真，則A?B。方法三：通過文氏圖判斷集合的包含（注意這里是判斷，而不是證明）方法四：A和B是謂詞定義的，且A和B中元素的性質(zhì)分別為P和Q：（即：A={x
13、P(x)}B={x
14、Q(x)}利用?的定義證明（按定義證明法）。10按定義證明的方法若定義中有“若…則…”來描述的，則在證明時應(yīng)采用離散數(shù)學(xué)中特有的按定義證明方法即證明時，首先敘述定義的前半部分“若…”，將這部分的內(nèi)容稱為“附加的已知條件”，此時利
15、用該“附加的已知條件”和題目本身所給的已知條件證明出定義的后半部分“則…”，這部分的內(nèi)容稱為定義中的結(jié)論。這種證明問題的方法在于：證明時不能單純利用題目所給的已知條件，而應(yīng)同時利用定義中的“已知”，推出的并非整個定義，而是定義中的結(jié)論。這與一般的證明思路：已知→中間結(jié)果→結(jié)論是完全不同的。本章的證明大部分都采用按定義證明方法。利用?的定義證明：A?B定義：A?B?(?x)(x∈A?x∈B)證明：假設(shè)(?x)(x∈A)，利用題目中的已知條件和已有的定理和公理去推出即?(?x)(x∈B)，從而證明A?B。注意：若已知A?B，則可以設(shè)(?x)(x∈
16、A)?(?x)(x∈B)11六、證明集合不等的方法證A?B：方法一：舉例或畫文氏圖示意。方法二：轉(zhuǎn)化為證明邏輯判斷式不等價。A≠B?(?x)(x?A且x?B)∨(?
