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1、7.4獨(dú)立隨機(jī)變量期望和方差的性質(zhì)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望的性質(zhì)：X,Y獨(dú)立，則E?XY??E?X?E?Y?以離散型隨機(jī)變量為例，設(shè)二元隨機(jī)變量?XY,?的聯(lián)合分布列PX???xY,y?已知，ij則PX??xY,?y??PX??x??PY??y?，?im??j1,2,n,;1,2,,?ijijmnmnEXY?xyPX??????xYijijy?,??????xyPXijij?xPY?y??ij??11ij??11mn?????xPXiijj?xyPY?y???EXEY????ij??11***************
2、********************************************************獨(dú)立隨機(jī)變量和的方差的性質(zhì)：X,Y獨(dú)立，則Var?X?Y??Var?X??Var?Y?22VarX?Y?E?X???Y?EX???Y?????2222??EX??XYY2??????EX?EXEY?2?EY???????2222??EX???EX?EY?EY???????22EXY?EXEY?????2222?EX???EX???EY???EY????VarX?VarY???n若XX12,,,Xn相互獨(dú)立
3、，且都存在方差，則VarX?X12?X?VarX??mk????k?1***********************************************************************利用獨(dú)立的0-1分布求和計(jì)算二項(xiàng)分布隨機(jī)變量Xbnp~,??期望和方差我們?cè)谕茖?dǎo)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的方差時(shí)，已經(jīng)利用了獨(dú)立隨機(jī)變量和的方差等于方差求和的性質(zhì)。這里我們?cè)倩仡櫼幌隆?設(shè)XX,,,X相互獨(dú)立，且均服從0-1分布Bp?1,?，則XX?X?X??12n12n2對(duì)所有k?1,?,n，EX????1p??
4、0?1?p??p，EX?pp?p????101????kk222VarX?k???EX?k?EX?k??p?p?p?1?p?，EX???EX?12?X??Xn??EX?12??EX????EX?n??npVarX???VarX?12?X??Xn??VarX?12??VarX????VarX?n???np?1p?***********************************************************************負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量YNBrp~(,)：連續(xù)不斷且獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行一個(gè)
5、參數(shù)為p的伯努利試驗(yàn)，第r次“成功”出現(xiàn)時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)。更細(xì)致地考慮由伯努利試驗(yàn)構(gòu)造參數(shù)為r，p的負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的過(guò)程。從伯努利試驗(yàn)開(kāi)始到第一次成功，所進(jìn)行試驗(yàn)的次數(shù)是隨機(jī)的，記為隨機(jī)變量X,則X服從參數(shù)為p的幾何分布；然后繼續(xù)獨(dú)立地進(jìn)行伯努利試驗(yàn)，到11第二次試驗(yàn)成功，我們記從第一次試驗(yàn)成功后開(kāi)始計(jì)算的試驗(yàn)次數(shù)為X，則X仍然服22從參數(shù)為p的幾何分布；如此進(jìn)行下去，到第r次“成功”出現(xiàn)時(shí)所進(jìn)行的總的伯努利試驗(yàn)次數(shù)Y就等于X1加X(jué)2一直加到Xr。設(shè)XX,,,X相互獨(dú)立，且均服從幾何分布Gep??，12r11
6、?p則YX?X?X??；EX???，VarX???，kr?1,2,,12rkk2pprEY???EX?1?X2??Xrr??EX?1???EX???prp?1??VarY????VarX??1?XX21??VarX?rr??VarX????2p***********************************************************************例7.4.1設(shè)隨機(jī)變量XY,相互獨(dú)立，已知它們的期望分別為EX??和EY??。令2UXY?max,??，VXY?max,??，求EUV
7、??。解：分別考慮XY?和XY?兩種情況，當(dāng)XY?時(shí)，UX?，VY?；當(dāng)XY?時(shí)，UY?，VX?；所以UVXY?，EUV?EXY????EXEY?????。3
