灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)GM(1,1)模型及其Matlab實(shí)現(xiàn).doc

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1、灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)GM(1,1)模型及其Matlab實(shí)現(xiàn)預(yù)備知識(shí)(1)灰色系統(tǒng)白色系統(tǒng)是指系統(tǒng)內(nèi)部特征是完全已知的；黑色系統(tǒng)是指系統(tǒng)內(nèi)部信息完全未知的；而灰色系統(tǒng)是介于白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)之間的一種系統(tǒng)，灰色系統(tǒng)其內(nèi)部一部分信息已知，另一部分信息未知或不確定。(2)灰色預(yù)測(cè)灰色預(yù)測(cè)，是指對(duì)系統(tǒng)行為特征值的發(fā)展變化進(jìn)行的預(yù)測(cè)，對(duì)既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行的預(yù)測(cè)，也就是對(duì)在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間序列有關(guān)的灰過程進(jìn)行預(yù)測(cè)。盡管灰過程中所顯示的現(xiàn)象是隨機(jī)的、雜亂無章的，但畢竟是有序的、有界的，因此得到的數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律?；疑A(yù)測(cè)是利用這種規(guī)律建立灰色模型對(duì)灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)

2、。目前使用最廣泛的灰色預(yù)測(cè)模型就是關(guān)于數(shù)列預(yù)測(cè)的一個(gè)變量、一階微分的GM(1,1)模型。它是基于隨機(jī)的原始時(shí)間序列，經(jīng)按時(shí)間累加后所形成的新的時(shí)間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近。經(jīng)證明，經(jīng)一階線性微分方程的解逼近所揭示的原始時(shí)間序列呈指數(shù)變化規(guī)律。因此，當(dāng)原始時(shí)間序列隱含著指數(shù)變化規(guī)律時(shí)，灰色模型GM(1,1)的預(yù)測(cè)是非常成功的。1灰色系統(tǒng)的模型GM(1,1)1.1GM(1,1)的一般形式設(shè)有變量X(0)＝{X(0)(i)，i=1,2，...，n}為某一預(yù)測(cè)對(duì)象的非負(fù)單調(diào)原始數(shù)據(jù)列，為建立灰色預(yù)測(cè)模型：首先對(duì)X(0)進(jìn)行一次累加(1—AGO,AcumulatedG

3、eneratingOperator)生成一次累加序列：　　　　　　　　　X(1)＝{X(1)(k)，k＝1，2，…，n}其中　　　　　　　　　X(1)(k)＝X(0)(i)　　　　　　　　　＝X(1)(k－1)+X(0)(k)(1)對(duì)X(1)可建立下述白化形式的微分方程：　　　　　　　　十＝u　　(2)即GM(1,1)模型。上述白化微分方程的解為(離散響應(yīng))：　　　　　　　　　(1)(k+1)＝(X(0)(1)－)＋　　(3)或　　　　　　(1)(k)＝(X(0)(1)－)＋　　　(4)式中：k為時(shí)間序列，可取年、季或月。1.2辯識(shí)算法記參數(shù)序列為,＝[a,u]T,可用下式求解

4、:＝(BTB)-1BTYn(5)式中:B—數(shù)據(jù)陣；Yn—數(shù)據(jù)列B＝(6)Yn＝(X(0)(2),X(0)(3),…,X(0)(ｎ))T　?。?）1.3預(yù)測(cè)值的還原由于GM模型得到的是一次累加量，k{n+1,n+2,…}時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，必須將GM模型所得數(shù)據(jù)(1)(k+1)(或(1)(k))經(jīng)過逆生成,即累減生成(I—AGO)還原為(0)(k+1)(或(0)(k))才能用。(1)(k)＝(0)(i)＝(0)(i)＋(0)(ｋ)(0)(ｋ)＝(1)(k)－(0)(i)因?yàn)?1)(k-1)＝(0)(i)，所以(0)(ｋ)＝(1)(k)－(1)(k-1)。2應(yīng)用舉例取某高校1998年～2

5、003年的某專業(yè)招生數(shù)據(jù)建模,見表1。表1某高校專業(yè)招生數(shù)據(jù)表年招生人數(shù)20001322001922002118200313020041872005207以表1中的數(shù)據(jù)構(gòu)造原始數(shù)據(jù)列X(0),即X(0)＝{X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),X(0)(4),X(0)(5),X(0)(6)}＝{132,92,118,130,187,207}對(duì)X(0)進(jìn)行一次累加(1—AGO)，生成數(shù)列：X(1)(k)＝X(0)(i)即X(1)＝{X(1)(1),X(1)(2),X(1)(3),X(1)(4),X(1)(5),X(1)(6)}　　　＝{132,224,342,472,6

6、59,866}和數(shù)據(jù)陣B、數(shù)據(jù)列YnB＝，Yn＝(92,118,130,187,207)T由式(5)得＝[a,u]T＝由式(4)得灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)為(1)(k)＝(X(0)(1)－)＋＝(132＋277.0137483)－277.0137483＝409.0137483－277.0137483預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)精度見表2。表2某高校專業(yè)招生預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)精度表年GM(1,1)模型計(jì)算值1—AGO還原值實(shí)際值誤差擬合相對(duì)誤差(％)2000132132132132002001225.060879622493921－12002339.295441834211411843.382003

7、479.52123472140130－10－7.692004651.65196591721871582005862.9466129866211207－4－1.9320061122.316167259252－7－2.78由表2知預(yù)測(cè)精度較高。2006年某專業(yè)招生人數(shù)預(yù)測(cè)值為259人。由于人數(shù)為整數(shù)，所以結(jié)果取整數(shù)部分。GM(1,1)是一種長期預(yù)測(cè)模型，在沒有大的市場(chǎng)波動(dòng)及政策性變化的前提下，該預(yù)測(cè)值應(yīng)是可信的。如前所述，影響招生人數(shù)的因素很多且難以預(yù)測(cè)。因此，在采用灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行定量預(yù)測(cè)時(shí)，