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《用定積分法求面積 (改).doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、學(xué)年論文題目：用定積分法求面積學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：信息與計算科學(xué)學(xué)生：王生文學(xué)號：7指導(dǎo)教師：郭曉斌用定積分法求面積摘要：定積分是數(shù)學(xué)當(dāng)中十分重要的一種方法，其中求圖形的面積正是它的運用之一，它的思想一般就是切割求和，本文就介紹了幾種運用定積分來求面積的方法。其中，列舉了普通的例題以及一些重要的問題解決方法。關(guān)鍵字：定積分微元法分割WiththedefiniteintegralmethodforareaAbstract:thedefiniteintegralinthemathisveryimpor
2、tantforamethod,whichistheareaofitsgraphics,oneoftheideasofuse,thispapercuttingsummationiscommonlyuseddescribessomeofthedefiniteintegraltobegareamethod.Amongthem,liststheordinaryexamples,andsomeimportantproblemsolvingmethods.Keyword：DefiniteintegralMicroele
3、mentmethodsegmentation1.求平面區(qū)域的面積在求平面區(qū)域的面積當(dāng)中，由于圍成平面區(qū)域的曲線可用不同的形式表示，一般情況下，曲線的形式分為三種情況，每種情況下的求區(qū)域面積的方法各有所不同，因而分下面三種情況進行討論。1.1直角坐標系由連續(xù)曲線y=f(x)（x≥0），以及直線x=a，x=b（a＜b）和x軸所圍成的曲邊梯形的面積為：=.y=f2(x)y=f1(x)ab0yx圖1如果f(x)在[a,b]上不都是非負的，則所圍圖形的面積為：=.一般地，由上下兩條連續(xù)曲線y=f2(x)與y=f1(x
4、)以及兩條直線x=a與x=b(a＜b)所圍成的平面圖形（圖1），它的面積計算公式為：A=（1）例題1求在區(qū)間[,2]上連續(xù)曲線y=lnx,x軸及二直線x=,與x=2所圍成平面區(qū)域（如圖2）的面積。解：已知在[,2]上，lnx≤0;在區(qū)間[1,2]上，lnx≥0,則此區(qū)域的面積為：A==+=+=.例題2求拋物線y2=x與x-2y-3=0所圍成的平面圖形（圖3）的面積A。解：該平面圖形如圖所示.先求出拋物線與直線的交點P(1,-1)與Q（9,3）.用x=1把圖形分為左、右兩部分，應(yīng)用公式（1）分別求的它們的面積
5、為：==.=.所以.本題也可把拋物線方程和直線方程改寫成:x=y2=1(y),x=2y+3=2(y),y∈[-1,3].并改取積分變量為y，便得：A===.例題3求兩條曲線y=x2與x=y2圍城的平面區(qū)域（如圖4）的面積。解：兩條曲線的交點是（0,0）與（1,1），則此區(qū)域的面積：.例題4求由兩條曲線y=x2,y=和直線y=1圍成的平面區(qū)域（如圖5）的面積.解法一：此區(qū)域關(guān)于y軸對稱，其面積是第一象限那部分面積的二倍。在第一象限中，直線y=1與曲線y=x2與y=的交點分別是（1,1）與（2,1）.此區(qū)域的面
6、積為：.解法二：將y軸看作是自變數(shù)。在第一象限的那部分區(qū)域是由曲線,和直線y=1所圍成（y作自變數(shù)）。此區(qū)域的面積為：.1.2參數(shù)方程設(shè)曲線C是參數(shù)方程x=(t),y=(t),α≤t≤β.其中＇(t)與＇(t)在[α,β]上連續(xù)。1）若函數(shù)x=φ(t)在[α,β]上嚴格增加，從而＇(t)≥0.有a=(α)＜(β)=b,則函數(shù)x=φ(t)存在反函數(shù)t=-1(x),曲線C：y=[-1(x)]、x軸和二直線x=a,x=b圍成區(qū)域的面積==(1)2)若函數(shù)x=(t)在[α,β]嚴格減少，從而＇(t)≤0,有a=(α
7、)＞(β)=b,則函數(shù)x=φ(t)存在反函數(shù)t=-1(x),曲線C：y=[-1(x)]、x軸和二直線x=a,x=b所圍成的區(qū)域面積=.(2)3）如果由參數(shù)方程所表示的曲線是封閉的，既有(α)=(β),(α)=(β),且在（α，β)曲線自身不在相交，那么由曲線自身所圍成圖像的面積為A=(或)(3)例題5求由擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a＞0)的以拱與x軸所圍成的平面圖形（圖6）的面積。xa1a2aA2πay圖666666666解：擺線的一拱可取t=[0,2π].所求面積為：==3πa2
8、.例題6求旋輪線：x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a＜0,0≤t≤2π)一拱與x軸圍成的區(qū)域（如圖7）的面積.解：函數(shù)x=a(1-sint)在[0,2π]嚴格增加，或任意的t∈[0,2π]，有x＇=a(1-cost)≥0(僅在[0,2π]上的孤立點使x＇=0)由公式(1)，旋輪線一拱與x軸圍成區(qū)域的面積：=3πa2.例題7求橢圓：x=acost,y=bsint(0≤t≤2π)的面積.解：橢圓關(guān)于x
