可降階的高階微分方程法.ppt

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1、§9.3高階微分方程的降階法二階及二階以上的微分方程通稱為高階方程.可降階的方程----通過(guò)初等變換降低階數(shù)求解的方程.P.34例1二.不顯含因變量的方程代入原方程,得解法:特點(diǎn):P(x)的(n-k)階方程可得通解.一般,型解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為例1P.35例2P.36例3有一質(zhì)量均勻分布的不可伸縮的柔軟繩索,兩端固定,繩索在重力的作用下自然下垂,求該繩索在平衡狀態(tài)下的曲線方程.解:設(shè)M為繩索上任一點(diǎn),弧段OM上的受力如圖所示(懸鏈線)P.37例4我艦向正東1km處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷,魚雷在航

2、行中始終對(duì)準(zhǔn)敵艦.設(shè)敵艦以常速v0沿正北方向直線航行,已知魚雷的速度是敵艦速度的2倍,求魚雷航行曲線的方程,并問敵艦航行多遠(yuǎn)時(shí)將被魚雷擊中?解:建立坐標(biāo)如圖所示,魚雷航行曲線的方程為y=y(x).設(shè)在時(shí)刻t,魚雷位于點(diǎn)P(x,y)處,敵艦位于點(diǎn)A(1,v0t)處,且AP是曲線在點(diǎn)A的切線,即三.不顯含自變量的方程求得其解為原方程通解為特點(diǎn):解法:一般,型P.40例6(一階線性非齊次)(可分離變量)P.41例7證明:曲率半徑為常數(shù)R的曲線是圓。證明:設(shè)曲線方程為則曲率為方程化為即兩邊積分:兩邊積分:兩邊平方,整理得以上為圓

3、的方程,故曲線為圓。P.42例8.脫離速度問題要使垂直向上發(fā)射的物體永遠(yuǎn)離開地面,問發(fā)射速度v0至少應(yīng)該有多大?rrF(r)RO練習(xí)題練習(xí)題答案

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