楊輝與縱橫圖.doc

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1、楊輝與縱橫圖楊輝(約13世紀(jì))，字謙光，是南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家，他生活在錢塘(現(xiàn)杭州)一帶，他的著作有《詳解九章算法》?？v橫圖最早起源于中國．縱橫圖在國外譯為奇平方(MagicSquares)或幻方(或魔方陣)，日本人稱為方陣，楊輝稱為縱橫圖．一般是指將連續(xù)的若干個(gè)自然數(shù)按一定規(guī)則進(jìn)行“安排”，形成滿足某種要求的圖形．將n2(n>3)個(gè)連續(xù)的自然數(shù)排列成縱橫各有n個(gè)數(shù)的正方形，使每行、每列以及兩對(duì)角線上的n個(gè)數(shù)字之和均相等，這樣的正方形圖叫做n階縱橫圖，也叫做n階幻方．世界上最古老的幻方是我國著名

2、的“九宮圖”．它是由1到9這九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)排列成的每行、每列以及兩對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均等于15的三階幻方．九宮圖是我國有著悠久歷史的一種數(shù)字組合游戲，據(jù)傳說，伏羲氏得了天下，黃河龍馬馱了一張圖，作為禮物獻(xiàn)給他，稱為“河圖”．公元前2200年左右大禹治水時(shí)、洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”．“洛書”所畫的圖中共有黑、白小圓圈45個(gè)．把這些連在一起的小圓圈用數(shù)目表示出來，得到l，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)．人們把由九個(gè)數(shù)組成3行3列的數(shù)字方陣，如用現(xiàn)代的數(shù)字來書寫，

3、這個(gè)方陣表示的的確就是一個(gè)九宮圖，稱為3階幻方(如圖13)．《周易·系辭傳》說：“河出圖，洛出書，圣人則之．”這是說黃河出現(xiàn)河圖，洛水出現(xiàn)洛書，圣人把它們當(dāng)作天賜作為治理天下的準(zhǔn)則，關(guān)于河圖，洛書這些簡單的數(shù)字排列，最早可考查的資料是《大戴記》(公元80年)，歷代學(xué)者在著書中都把這些圖形描寫成神秘哲學(xué)的一個(gè)重要部分．反映出中國文化的特色，同時(shí)對(duì)后世哲學(xué)、占卜、音樂和數(shù)學(xué)等都有深遠(yuǎn)影響．美妙的九宮圖作為數(shù)學(xué)游戲，引起了一代又一代人的興趣．在參與游戲的過程中，人們通過認(rèn)真的思考，不斷地提出巧妙的對(duì)策與方法，同

4、時(shí)在九宮圖的基礎(chǔ)上，逐漸地刨造出一批類似的、但更為復(fù)雜的數(shù)字組合游戲．在早期的幻方愛好者中，我國13世紀(jì)的宋朝數(shù)學(xué)家楊輝成績最大，他利用數(shù)學(xué)方法尋找規(guī)律，巧妙地構(gòu)造出許多別具風(fēng)格的幻方來，楊輝構(gòu)造的九宮圖，方法簡單又巧妙．例如，他將1到9這九個(gè)數(shù)字斜著排列（如圖14），然后將上、下兩個(gè)數(shù)字對(duì)調(diào)，左右兩個(gè)數(shù)字對(duì)調(diào)，最后將對(duì)調(diào)后的四個(gè)數(shù)字填人相鄰的空格中，就得到一個(gè)九宮圖．楊輝構(gòu)造的四階幻方，方法也十分簡便，他先將1到16這16個(gè)連續(xù)的自然數(shù)按順序排列在四行四列上（如圖15），然后把兩條對(duì)角線上關(guān)于正方形中心

5、對(duì)稱的四對(duì)數(shù)分別對(duì)調(diào)，這樣就得到一個(gè)行、列以及對(duì)角線上數(shù)字之和都是34的一個(gè)四階幻方．(a)依次排四行(b)外四角對(duì)換(c)內(nèi)四角對(duì)換楊輝在構(gòu)造了三、四階幻方的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對(duì)幻方進(jìn)行系統(tǒng)研究，陸續(xù)地構(gòu)造出五階、六階、七階、八階、九階、十階幻方．后來，人們經(jīng)過研究，得出計(jì)算任意階數(shù)幻方的各行、各列、各條對(duì)角線上所有數(shù)的和的公式為：N。=-n(n2+1)．其中n為幻方的階數(shù)，所求的數(shù)為Nｎ。此外，他還突破了幻方為正方形的限制，將它擴(kuò)大到不同的形狀，楊輝對(duì)幻方的研究和推廣，大大豐富了這種數(shù)字游戲的內(nèi)容，直到今天

6、，在國際上一些科學(xué)家利用幻方這種變化無窮的特點(diǎn)，把它作為智力測驗(yàn)的工具和智力玩具．提高了它在訓(xùn)練人們機(jī)智方面的層次．對(duì)幻方的深入研究也為人們帶來了新的啟示，將幻方中的自然數(shù)換成一般的物體，也對(duì)它們按一定規(guī)則進(jìn)行‘‘安排”，并進(jìn)一步討論這種“安排”的存在性問題、計(jì)數(shù)問題、構(gòu)造問題和優(yōu)化問題，就構(gòu)成了今天的數(shù)學(xué)分支——組合數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容．古老的幻方作為歷史上最早的組合結(jié)構(gòu)，開創(chuàng)了組合數(shù)學(xué)的先河，顯示了中華民族的聰明才智，近代它還被現(xiàn)在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)、人工智能等許多方面都有著廣泛的應(yīng)用?；梅阶钤缬涊d于我國公

7、元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，這說明我國人民在2500年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律，而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方，我國不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對(duì)幻方進(jìn)行深入研究的國家，公元13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家楊輝已經(jīng)編制出3-10階幻方，記載在他1275年寫的《續(xù)古摘奇算法》一書中，我國的洛書圖是現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)這一分支的最古老的例子，比希臘類似的幻方要早期兩個(gè)世紀(jì)，在歐洲，直到1574年，德國著名畫家丟勒才繪制出了完整的4階幻方。