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1、4．一條重要的面積定理 在《詳解九章算法》及《續(xù)古摘奇算法》中，楊輝討論了勾股容方問題，并在后書中給出如下定理： “直田之長名股，其闊名勾，于兩隅角斜界一線，其名弦．弦之內(nèi)外分二勾股，其一勾中容橫，其一股中容直，二積之?dāng)?shù)皆同．” 圖5中，橫指BE，直指DE，推測(cè)其證明思路如下： 因?yàn)椤鰽BC＝△CDA(指面積相等，下同)， 又因?yàn)椤鰽IE=△EHA，△EFC=△CGE， 所以 △ABC-△AIE-△EFC =△CDA-△EHA-△CGE， 即BE=DE． 此定理反映了我國傳統(tǒng)幾何的一條重要原
2、理——出入相補(bǔ)．實(shí)際上，△AIE可以移置△EHA處，△EFC也可以移置△CGE處，所以等積．這種思想在劉徽《海島算經(jīng)》及趙爽“日高術(shù)”中已反映出來．但首次表達(dá)成定理形式的是楊輝．該定理在平面幾何中有廣泛的應(yīng)用．實(shí)際上，《海島算經(jīng)》中的各種測(cè)量公式都可由它推出． 楊輝曾做過地方官．足跡遍及錢塘、臺(tái)州(今浙江臨海)、蘇州等地．與他同時(shí)代的陳幾先稱贊他“以廉飭己，以儒飾吏”．楊輝特別注意社會(huì)上有關(guān)數(shù)學(xué)的問題，多年從事數(shù)學(xué)研究和教學(xué)工作，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家．他走到哪里都有人請(qǐng)教數(shù)學(xué)問題．從1261年到
3、1275年的15年中，他先后完成數(shù)學(xué)著作5種21卷，即《詳解九章算法》12卷(1261)，《日用算法》2卷(1262)，《乘除通變本末》3卷(1274)，《田畝比類乘除捷法》2卷(1275)和《續(xù)古摘奇算法》2卷(1275)(其中《詳解》和《日用算法》已非完書)．后三種合稱為《楊輝算法》． 關(guān)于這五部書的編著過程，楊輝寫道：“《九章》為算經(jīng)之首，輝所以尊尚此書，留意詳解．或者有云：無啟蒙之術(shù)，初學(xué)病之，又以乘除加減為法，秤斗尺田為問，目之曰《日用算法》，而學(xué)者粗知加減歸倍之法，而不知變通之用，遂易代乘代除之術(shù)
4、，增續(xù)新條，目之曰《乘除通變本末》，及見中山劉先生益撰《議古根源》，演段鎖積，有超古入神之妙，其可不為發(fā)揚(yáng)，以俾后學(xué)，遂集為《田畝算法》．通前共刊四集，自謂斯愿滿矣．一日忽有劉碧澗、丘虛谷攜諸家算法奇題及舊刊遺忘之文，求成為集，愿助工板刊行．遂添摭諸家奇題與夫繕本及可以續(xù)古法草總為一集，目之曰《續(xù)古摘奇算法》．”(《續(xù)古摘奇算法》序) 以上《乘除通變本末》3卷，上卷叫《算法通變本末》，中卷叫《乘除通變算寶》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是與史仲榮合撰的． 楊輝數(shù)學(xué)著作的特點(diǎn)是深入淺出、圖文并茂，很適于教學(xué)，
5、而且有不少創(chuàng)新．另外，楊輝的書中還記錄了一些古代有價(jià)值的數(shù)學(xué)成果，如賈憲的增乘開方法和開方作法本源圖載于《詳解九章算法》的《纂類》，劉益的正負(fù)開方術(shù)載于《田畝比類乘除捷法》．楊輝自己的成就，主要表現(xiàn)在以下各方面． 1．垛積術(shù) 楊輝的垛積術(shù)，是在沈括像積術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，置于《詳解九章算法》的商功章．他研究了垛積與各類多面體體積的聯(lián)系，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式．例如方亭(正四棱臺(tái))體積為 其中a為上底邊長，b為下底邊長． 若由大小相等的圓球垛成類似于正四棱臺(tái)的方垛，上底由a×a個(gè)球組成，以
6、下各層的長、寬依次各增加1個(gè)球，共有n層，最下層(即下底)由b×b個(gè)球組成，楊輝給出求方垛中物體總個(gè)數(shù)的公式如下： 比較一下上面兩式就會(huì)發(fā)現(xiàn)，后者與前者的區(qū)別在于小括號(hào)內(nèi)多了階等差級(jí)數(shù)求和公式，即a2+(a+1)2+(a＋2)2+…+(b-1)2+b2 楊輝垛積術(shù)中屬于級(jí)數(shù)求和的共有四個(gè)，其余三個(gè)是 a·b＋(a＋1)(b＋1)+(a＋2)(b＋2)+…+(c-1)(d-1)＋c·d 除了(4)式與沈括隙積術(shù)公式相同外，其他公式均為楊輝獨(dú)立推出． 2．捷算法與素?cái)?shù) 楊輝致力于捷算法的研
7、究，并取得一些成就．例如，《算法通變本末》中記載著一種叫“重乘”的算法，即把乘數(shù)分解為若干因數(shù)之積的形式，然后用因數(shù)去乘．楊輝說：“乘位繁者，約為二段，作二次乘之，庶幾位簡而易乘，自可無誤也．”例如38367×23121，楊輝便把23121分解為9×7×367，然后再乘38367． 由于捷算法的需要，楊輝注意到一個(gè)整數(shù)是合數(shù)還是素?cái)?shù)的問題．他說：“置價(jià)錢(即23121文)為法，約之．先以九約，又以七約，乃見三百六十七，更不可約也．”所謂不可約，就是說除了1和本身外沒有其他約數(shù)．顯然，楊輝的“不可約”之?dāng)?shù)即素?cái)?shù)
8、．他在這里首次提出素?cái)?shù)概念，又在《法算取用本末》中列出了從201到300的素?cái)?shù)表，共16個(gè)：211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293． 這實(shí)際是201到300的全部素?cái)?shù)．雖然楊輝對(duì)素?cái)?shù)的研究遠(yuǎn)在歐幾里得之后，理論上也不夠完整，但他在沒有外來影響的情況下注意到這一重要問題，其思想之深刻是值得稱道的．
