線性與非線性.doc

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1、線性與非線性非線性是相對于線性而言的，是對線性的否定，線性是非線性的特例，所以要弄清非線性的概念，明確什么是非線性，首先必須明確什么是線性，其次對非線性的界定必須從數學表述和物理意義兩個方面闡述，才能較完整地理解非線性的概念。(1)線性對線性的界定，一般是從相互關聯(lián)的兩個角度來進行的：其一，疊加原理成立：“如果ψl，ψ2是方程的兩個解，那么aψl+bψ2也是它的一個解，換言之，兩個態(tài)的疊加仍然是一個態(tài)?！盵1]疊加原理成立意味著所考察系統(tǒng)的子系統(tǒng)間沒有非線性相互作用。其二，物理變量間的函數關系是直線，變量間的變化率是恒量，這意味著函數的斜率在其定義域內

2、處處存在且相等，變量間的比例關系在變量的整個定義域內是對稱的。(2)非線性在明確了線性的含義后，相應地非線性概念就易于界定：其—，“定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”[2]，即疊加原理不成立，這意味著φ與ψ間存在著耦合，對（aφ+bψ）的操作，等于分別對φ和ψ操作外，再加上對φ與ψ的交叉項(耦合項)的操作，或者φ、ψ是不連續(xù)(有突變或斷裂)、不可微(有折點)的。其二，作為等價的另—種表述，我們可以從另一個角度來理解非線性：在用于描述—個系統(tǒng)的一套確定的物理變量中，一個系統(tǒng)的—個變量最初的變

3、化所造成的此變量或其它變量的相應變化是不成比例的，換言之，變量間的變化率不是恒量，函數的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變量間的一級增量關系在變量的定義域內是不對稱的?？梢哉f，這種對稱破缺是非線性關系的最基本的體現，也是非線性系統(tǒng)復雜性的根源。對非線性概念的這兩種表述實際上是等價的，其—疊加原理不成立必將導致其二物理變量關系不對稱；反之，如果物理變量關系不對稱，那么疊加原理將不成立。之所以采用了兩種表述，是因為在不同的場合，對于不同的對象，兩種表述有各自的方便之處，如前者對于考察系統(tǒng)中整體與部分的關系、微分方程的性質是方便的，

4、后者對于考察特定的變量間的關系(包括變量的時間行為)將是方便的。關于非線性概念需要強調的是，線性或非線性的提法是相對于物理變量而言的，也就是說，只有物理變量的關系才是判斷是否是非線性的根據，而非物理變量的關系不能成為非線性與否的判據。這里所說的物理變量是指那些可以觀測的、人們感興趣的、對人類有意義的變量。例如分形理論中，簡單分形的分維D是恒量，在無標度區(qū)間內lnN=DlnL，lnN與lnL是線性關系，但是顯然不能籍此得出簡單分形是線性的結論。這里的物理變量是N和L，而不是經過對數變換的nN與lnL，即人們可觀測的、感興趣的、對人們有意義的是N和L，而不

5、是lnN和lnL，N與L的關系N=LD是非線性的，所以可得出分形是非線性的結論。再如，物價對時間的直接關系(而不足Mandbrolt所統(tǒng)計的棉花價格指數的無標度性)正是人們感興趣的、對人們有意義的，而且兩者的關系是非線性的，所以物價隨時間的變化是一種非線性現象。說明狹義的非線性是指不按比例、不成直線的數量關系，無法用線性形式表現的數量關系，如曲線、曲面等。而廣義上看，是自變量以特殊的形式變化而產生的不同于傳統(tǒng)的映射關系，如迭代關系的函數，上一次演算的映射為下一次演算的自變量，顯然這是無法用通常的線性函數描繪和形容的。很顯然，自然界事物的變化規(guī)律不是像簡

6、單的函數圖像，他們當中存在著并非一一對應的關系。如果說線性關系是互不相干的獨立關系，那么非線性則是體現相互作用的關系，正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地全部等于部分之和，而可能出現不同于"線性疊加"的增益或虧損。詳細釋義編輯非線性的性質非線性科學正處于發(fā)展過程之中，它所研究的各門具體科學中的非線性普適類，有已經形成的(如混沌、分形、孤子)，有正在形成的(如適應性與自涌行為)，還會有將要形成的，所以非線性的性質還沒有完全呈現出來，這里也就不可能全面地討論非線性的性質。下面僅從“非線性與線性的關系”、“非線性的物理機制”和“非線性與穩(wěn)定性”三個方面作初

7、步探討。(1)非線性與線性的關系非線性與線性是相對而言的，兩者是一對矛盾的概念，一方面兩者在一定程度上可以相互轉化，另一方面兩者又存在本質區(qū)別，再者兩者同時存在于—個系統(tǒng)中，規(guī)定著系統(tǒng)相應方面的性質。①非線性與線性的密切聯(lián)系首先，在數學上一些線性方程可轉化為非線性方程來解。物理上的一些非線性問題，也可以通過數學變換而轉化為線性方程來研究。如非線性的KdV方程通過散射反演方法化為線性的可積方程，從而求出了精確的解析解；一些非線性不強的問題，可用線性逼近方法將其轉化為若干線性問題來求近似解，這是已在各門學科中廣泛采用并相當有效的的方法。其次，在某些情況下，

8、由方程得到的解析解并不能提供更多的信息，無助于更好地理解系統(tǒng)的行為，而從解的非線性形式中，我們