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《統(tǒng)計計算09隨機模擬計算——隨機模擬方法的特點.pdf》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、隨機模擬計算隨機模擬方法的特點求解確定性問題內(nèi)容和要求?隨機模擬的基本方法;用隨機模擬方法求解確定性問題;常用隨機過程的模擬;模擬方法在隨機服務(wù)系統(tǒng)中的應(yīng)用。?1.了解隨機模擬方法的特點、基本步驟;?2.熟練掌握求解確定性問題的隨機模擬方法;?3.掌握常見隨機過程的模擬方法;?4.能夠利用模擬方法進行服務(wù)系統(tǒng)的隨機模擬。Monte-Carlo方法?一、MC的起源和發(fā)展Buffon試驗排隊系統(tǒng)模擬:M/G/1排隊系統(tǒng)?二、MC的原理?三、隨機數(shù)的產(chǎn)生原理與IMSL庫均勻分布U(0,1)的隨機數(shù)的產(chǎn)生其他各種分布的隨機數(shù)的產(chǎn)生隨機
2、過程模擬?四、MC的應(yīng)用舉例定積分的MC計算隨機微分方程的數(shù)值模擬?五、EM算法及其MCMC方法一、MC的起源和發(fā)展?隨機模擬方法,也稱為MonteCarlo方法,是一種基于“隨機數(shù)”的計算方法。這一方法源于美國在第一次世界大戰(zhàn)進行的研制原子彈的“曼哈頓計劃”。該計劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法,為它蒙上了一層神秘色彩。馮·諾伊曼是公理化方法和計算機體系的領(lǐng)袖人物,MonteCarlo方法也是他的功勞。?事實上,MonteCarlo方法的基本思想很早以前就被人們所
3、發(fā)現(xiàn)和利用。早在17世紀,人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來決定事件的“概率”。18世紀下半葉的法國學(xué)者Buffon提出用投針試驗的方法來確定圓周率π的值。這個著名的Buffon試驗是MonteCarlo方法的最早的嘗試!?歷史上曾有幾位學(xué)者相繼做過這樣的試驗。不過呢,他們的試驗是費時費力的,同時精度不夠高,實施起來也很困難。然而,隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展,人們不需要具體實施這些試驗,而只要在計算機上進行大量的、快速的模擬試驗就可以了。?在大眾的心目中,科學(xué)的代言人是心不在焉的牛頓或者爆炸式發(fā)型的愛因斯坦,但這只是傳統(tǒng)形象,比他
4、們更了解現(xiàn)代計算技術(shù)的馮·諾伊曼是個衣著考究,風(fēng)度翩翩的人物,他說:純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支非常需要計算工具,用以打破目前由于純粹分析的研究方法不能解決非線性問題而形成的停滯狀態(tài)。?MonteCarlo方法是現(xiàn)代計算技術(shù)的最為杰出的成果之一,它在工程領(lǐng)域的作用是不可比擬的。Buffon試驗?假設(shè)平面上有無數(shù)條距離為1的等距平行線,現(xiàn)向該平面隨機投擲一根長度為的針(),ll≤1?則我們可計算該針與任一平行線相交的概率。這里,隨機投針指的是:針的中心點與最近的平行線間的距離均勻的分布在區(qū)間x。上,針[0,12]與平行線的夾角(
5、不管相交與否)均勻的分布?在區(qū)間上。[0,π]?因此,針與線相交的充要條件是x1≤sin?2Buffon試驗?從而針線相交的概率為l?l?π?sin22lpPXsin?=2dxd==??≤?∫∫??200lx?根據(jù)上式,若我們做大量的投針試驗并記錄針與??ππ線相交的次數(shù),則由大數(shù)定理可以估計出針線相交的概率,從而得到p的估計值。π?針與線的位置關(guān)系:排隊系統(tǒng)模擬:M/G/1排隊系統(tǒng)1服務(wù)規(guī)則:先到先服務(wù)假設(shè):(1)顧客到達遵循Poisson分布;(2)服務(wù)時間服從一般分布;(3)到達間隔與服務(wù)時間相互獨立.排隊系統(tǒng)模擬:M/
6、G/1排隊系統(tǒng)關(guān)心的指標:(1)時刻t時,系統(tǒng)中的顧客數(shù);即隊長的分布;(2)顧客的等待時間;(3)服務(wù)的忙碌程度;(4).......用最樸素的Monte-Carlo方法可以得到這些指標的估計.二、MC的原理?應(yīng)用MonteCarlo方法求解工程技術(shù)問題可以分為兩類:?確定性問題?隨機性問題確定性系統(tǒng)模擬隨機性系統(tǒng)自然界重復(fù)試驗Monte-Carlo模擬,即隨機模擬(重復(fù)“試驗”)計算機模擬思路:?1、針對實際問題建立一個簡單且便于實現(xiàn)的概率統(tǒng)計模型,使問題的解對應(yīng)于該模型中隨機變量的概率分布或其某些數(shù)字特征,比如,均值和方
7、差等。所構(gòu)造的模型在主要特征參量方面要與實際問題或系統(tǒng)相一致的。?2、根據(jù)模型中各個隨機變量的分布,在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù),實現(xiàn)一次模擬過程所需的足夠數(shù)量的隨機數(shù)。通常先產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù),然后生成服從某一分布的隨機數(shù),再進行隨機模擬試驗。思路:?3、根據(jù)概率模型的特點和隨機變量的分布特性,設(shè)計和選取合適的抽樣方法,并對每個隨機變量進行抽樣(包括直接抽樣、分層抽樣、相關(guān)抽樣、重要抽樣等)。?4、按照所建立的模型進行仿真試驗、計算,求出問題的隨機解。?5、統(tǒng)計分析模擬試驗結(jié)果,給出問題的估計以及其精度估計。?6、必要時,還應(yīng)改進
8、模型以降低估計方差和減少試驗費用,提高模擬計算的效率。?收斂性:由大數(shù)定律,Monte-Carlo模擬的收斂是以概率而言的.?誤差:用頻率估計概率時誤差的估計,可由中心極限定理,給定置信水平的條件下,有:αUσ1?α/2?
9、ε
10、≤σ=Var(g(X))N?模擬次數(shù):由誤差公式