模擬物理-09隨機(jī)系統(tǒng)模擬

《模擬物理-09隨機(jī)系統(tǒng)模擬》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、隨機(jī)系統(tǒng)的模擬前面我們看到的運(yùn)動(dòng)都是確定性的。比如拋體運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻速度的大小和方向給定，那么以后的運(yùn)動(dòng)是完全確定的、可以預(yù)言。相似地，在求解電勢(shì)問(wèn)題中給定電荷分布和邊界條件，電勢(shì)的解是唯一的、確定的。前兩節(jié)講到的隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用，是把積分轉(zhuǎn)化成求平均，不涉及物理規(guī)律。本節(jié)我們考慮一類(lèi)系統(tǒng)，隨機(jī)性在其中具有關(guān)鍵性作用。我們可以把這類(lèi)系統(tǒng)叫作隨機(jī)系統(tǒng)。隨機(jī)性可以從多個(gè)途徑產(chǎn)生，例如：無(wú)法觀察大量粒子的位置和速度，得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的完整信息。系統(tǒng)與一個(gè)熱源接觸，熱源可以用概率或者統(tǒng)計(jì)力學(xué)很好的描述，但是難以作力學(xué)描述。即使系統(tǒng)本質(zhì)的規(guī)律是確定性的，不完整的知識(shí)

2、迫使我們求助于統(tǒng)計(jì)的、隨機(jī)的描述。一個(gè)典型的隨機(jī)問(wèn)題是擴(kuò)散。這是一個(gè)常見(jiàn)的、重要的過(guò)程。這里我們考慮比較簡(jiǎn)單的例子。例如，一滴墨水滴到清水中，逐漸混合均勻?；蛘呖Х缺锏囊坏文逃?。開(kāi)始你有一杯黑咖啡，在杯子中心輕輕的放一滴奶油，白色的奶油會(huì)慢慢傳播，充滿整個(gè)杯子，最終變成均勻的褐色。從微觀尺度上來(lái)看，這個(gè)過(guò)程應(yīng)當(dāng)這樣描述：這滴奶油由大量的“奶油粒子”組成。如果我們有辦法看到并追蹤每一個(gè)粒子穿過(guò)咖啡的運(yùn)動(dòng)，我們應(yīng)當(dāng)看到它經(jīng)歷了一個(gè)復(fù)雜的軌道。粗略地說(shuō)，它在短時(shí)間上按照牛頓第一定律沿著一條直線運(yùn)動(dòng)，直到和其它粒子發(fā)生碰撞。每次碰撞應(yīng)當(dāng)引起這個(gè)奶油粒子速

3、度的急劇變化，然后它應(yīng)當(dāng)按照這個(gè)新速度運(yùn)動(dòng)，直到下一次碰撞。現(xiàn)在我們的目標(biāo)是建立關(guān)于奶油與咖啡混合方式的一種有用的理論上的描述。原則上說(shuō)，我們可以通過(guò)寫(xiě)出所有粒子的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)做這件事，甚至寫(xiě)下組成奶油和咖啡的所有分子的運(yùn)動(dòng)方程。這樣做將給出大量的描述粒子或分子運(yùn)動(dòng)的微分方程（牛頓運(yùn)動(dòng)方程或者哈密頓方程等）。原則上，可以解出它們。這些方程的解應(yīng)當(dāng)可以告訴我們?nèi)魏涡枰赖氖虑椤Ｈ欢@樣做有兩個(gè)缺點(diǎn)。第一、雖然原則上可解，但是實(shí)際上不可能完成這個(gè)解。方程太多，計(jì)算量太大了。第二、即使我們有足夠強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)，這個(gè)計(jì)算的結(jié)果將是所有粒子的坐標(biāo)和速度，它們是

4、時(shí)間的函數(shù)。雖然細(xì)節(jié)都在其中，但是它并不能給我們關(guān)于這個(gè)過(guò)程的真正的理解。理解是指，我們可以把這里學(xué)到的東西應(yīng)用到其它相似的情況。例如，我們的計(jì)算表明這杯咖啡的混合用時(shí)20秒，那么我們可以預(yù)言在兩倍大的杯子里需要多久實(shí)現(xiàn)混合嗎？一個(gè)徹底的計(jì)算給出的信息太多了，我們不關(guān)心每個(gè)粒子的軌道細(xì)節(jié)我們真正想要的是粒子行為的統(tǒng)計(jì)描述，是粒子群體到達(dá)了什么位置。或者我們想要的說(shuō)是一個(gè)理論，而不是大量細(xì)節(jié)。要回答這種問(wèn)題，知道軌道的平均性質(zhì)已經(jīng)足夠了。因?yàn)槲覀儗ふ伊Ｗ有袨榈钠骄再|(zhì)，我們將用隨機(jī)模型代替確定過(guò)程。一個(gè)粒子的軌道可以用隨機(jī)行走來(lái)模擬：每次粒子按照給定

5、的規(guī)則走一步。這一步對(duì)應(yīng)兩次碰撞之間的勻速直線運(yùn)動(dòng)。碰撞改變速度的方向，在模型中對(duì)應(yīng)為，每一步的方向是隨機(jī)的。這個(gè)問(wèn)題中巨大的粒子數(shù)目導(dǎo)致這個(gè)模型是可行的。后面將討論一下近似的程度。隨機(jī)行走隨機(jī)行走有幾種不同類(lèi)型的模擬。最簡(jiǎn)單的情況是，粒子可以在一條線上行走，以單位長(zhǎng)度為步長(zhǎng)。從x=0開(kāi)始，隨機(jī)地選擇向左或向右，概率各1/2。在物理過(guò)程中，例如溶液中分子的運(yùn)動(dòng)，兩步之間的時(shí)間近似為常數(shù)。所以步數(shù)粗略地正比于時(shí)間。我們將把隨機(jī)行走過(guò)程中粒子的位置看作時(shí)間的函數(shù)。程序關(guān)于隨機(jī)行走粒子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的最基本結(jié)果是，粒子在行走n步以后的平均位移。因?yàn)榱Ｗ酉蜃蠛拖?/p>

6、右的概率相同，這個(gè)平均值一定為0。把它記為。尖括號(hào)表示對(duì)不同粒子做平均，在模擬中是用一組獨(dú)立的粒子（walker）做計(jì)算。在前面的程序中使用m=500個(gè)粒子，逐個(gè)進(jìn)行隨機(jī)行走。更有趣和有用的量是，即移動(dòng)n步以后位移平方的平均值。在程序中它是x2ave這個(gè)量與時(shí)間的關(guān)系可以很好得用直線描述這里的時(shí)間t就是步數(shù)，因子D叫做擴(kuò)散常數(shù)。與自由粒子比較自由粒子以恒定速度運(yùn)動(dòng)，不與其它粒子的碰撞。它的位移x=vt，線性地隨著時(shí)間增長(zhǎng)。隨機(jī)行走粒子與原點(diǎn)的方均根距離滿足它們逃離原點(diǎn)的過(guò)程比自由粒子慢很多。由公式描述的這類(lèi)運(yùn)動(dòng)叫做擴(kuò)散?；氐娇Х鹊膯?wèn)題。這個(gè)結(jié)果告訴

7、我們?cè)S多信息，可以預(yù)測(cè)杯子尺寸改變時(shí)混合發(fā)生得多快?；旌洗笾峦瓿傻那闆r是與杯子直徑相當(dāng)。如果我們把杯子直徑加倍，我們可以看到需要用4倍時(shí)間達(dá)到混合。另一個(gè)有趣的問(wèn)題是擴(kuò)散常數(shù)D的值2D的值是右圖中的斜率?？梢钥吹剿咏?這個(gè)值可以解析得出。把n步后的位置xn寫(xiě)成n個(gè)獨(dú)立步的和其中si是第i步的位移，相應(yīng)的因?yàn)槊恳徊蕉际仟?dú)立的，當(dāng)時(shí)以相等的概率等于。于是以上是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)行走模型。為了真實(shí)，有多種推廣這個(gè)模型的方法一種推廣是，允許步長(zhǎng)是隨機(jī)的。仍然能夠得到擴(kuò)散，但是擴(kuò)散常數(shù)會(huì)發(fā)生變化。另一種推廣是，允許粒子在三維空間中行走仍然能夠得到擴(kuò)散。我們可以通

8、過(guò)隨機(jī)行走模型推導(dǎo)出擴(kuò)散方程。擴(kuò)散與熵現(xiàn)在我們從非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)的角度再來(lái)看看咖啡杯中的奶油問(wèn)題。我們用它來(lái)說(shuō)明一個(gè)系統(tǒng)如何