無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系探討.pdf

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1、!""!年##月安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)&自然科學(xué)版’:)=>!""!第$卷第%期()*+,-.)/0,12,345-675+89)..535&:-;*+-.<625,65’?).>$:@>%AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系探討張千祥&巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系C安徽巢湖DEFGGG’JK摘要H本文討論了無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系C給出IM&N’O&N’收斂時(shí)CPQRM&N’TGLNSK成立的幾個(gè)充分條件U關(guān)鍵詞H無窮

2、級(jí)數(shù)V無窮積分V極限中圖分類號(hào)HWXYE文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼HZ文章編號(hào)HXGGY[D]G&DGGD’G[GGXF[GD無窮極數(shù)與廣義積分的斂散性都是通過極限來定義的C只不過無窮積分是函數(shù)的極限C無窮級(jí)數(shù)是數(shù)列的極限C兩者有著密切的聯(lián)系UKJKab定理一^X_IM&N’O&N’收斂‘對(duì)任意一列數(shù)abCPQRZcTJKCdIM&N’O&N’收斂C且LNSKabTXb[XKJKabIM&N’ONTdIM&N’ON&aGTe’Lab[XbTX該定理的證明見^X_C據(jù)此C我們能夠?qū)o窮積分的收斂問題轉(zhuǎn)化為無窮級(jí)數(shù)的收斂問題C故

3、無窮積分的許多結(jié)論幾乎是無窮級(jí)數(shù)相應(yīng)部分的逐字逐句的搬家UKJK但是C我們知道deb收斂fPQRebTGC然而由IM&N’ON收斂得不到PQRM&N’TGU例如bTXNSKLNSJKJKDD^X_IgQc&N’ON收斂C但PQRgQc&N’不存在C原因何在h由定理一C我們稍加分析知Ceb并不相當(dāng)于M&N’CLNSJKab而相當(dāng)于IM&N’ONC故eb與M&N’的極限狀態(tài)之差異也就不足為怪了Uab[XJK現(xiàn)在我們的問題是若IM&N’ON收斂CPQRM&N’Ta&有限數(shù)’C那么是否一定有PQRM&N’TG呢h回LNS

4、KNSK答是肯定的UJK定理二若IM&N’ON收斂C且PQRM&N’Ta&a為有限數(shù)’C則PQRM&N’TGULNSKNSJK證明若aiGC不妨設(shè)ajGC即PQRM&N’TajGfkN&Nle’C當(dāng)NjNG時(shí)C恒有M&N’jNSKNNN[NaaGN[NG&jG’fmNfNG&le’C恒有IM&N’ONlIONTnajGC由PQRaTJKfDNNDDNSJKDGGNJKJKPQRINM&N’ONTJKfILM&N’ONTJK與ILM&N’ONTa&a為有限數(shù)’矛盾C故PQRM&N’TGUGNSJKNSKJKJK推論

5、一若IM&N’ON收斂C且IMo&N’ON也收斂C則PQRM&N’TGLLNSJKJKNq證明H由IMo&N’ON收斂fmpjGCkN&le’C當(dāng)NqjNojN時(shí)C恒有rIMo&N’ONrspC即LNorM&Nq’[M&No’rspC由柯西收斂準(zhǔn)則知PQRM&N’Ta&a為有限數(shù)’C故由定理二即得PQRM&N’TGUNSJKNSJKJK推論二若IM&N’ON收斂C且M&N’在^eCJK_上單調(diào)C則PQRM&N’TGULNSJKB收稿日期HDGGD[G][DuBB作者簡介H張千祥&XtuY[’C男C安徽巢湖人C巢湖

6、學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授C從事概率論的教學(xué)與研究工作U第P期張千祥!無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系探討RENR)*證明!不妨設(shè)"#$%在&’()*+單調(diào)不增(由,"#$%.$收斂/"#$%01($2&’()*+3若不然-99至少4$1#0’%(使"#$1%51(/$6$1時(shí)("#$%7"#$1%51(/896$1(,"#$%.$7,"#$1%.$:$$11)*)*#9;$1%<"#$1%=;*#9=)*%(即,"#$%.$:;*(從而,"#$%.$發(fā)散(矛盾>由"#$%在&’($-1)*+單調(diào)不增(且有下界1(故?@A"#$%

7、:B#B為有限數(shù)%(由定理二得!?@A"#$%:1$=)*$=)*)*定理三若"#$%在&’()*+一致連續(xù)(且,"#$%.$收斂(則?@A"#$%:13-$=)*證明因"#$%在&’()*+一致連續(xù)/8C61(4D#15D5E%(當(dāng)$F($G2&’()*+H$G;$FH5D時(shí)C"#$G%;"#$F%H5#E%I又對(duì)上述C(D(4$當(dāng)$F($G0$時(shí)1#0’%(1$GCDH,"#$%.$H5#I%$FI當(dāng)$6$時(shí)(必有J使$由積分中值定理知4K#$11#61%(1)J17$7$1)J1)D(1)J7K7$)J)D

8、11