素?cái)?shù) 實(shí)驗(yàn)報(bào)告..doc

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1、素?cái)?shù)一．實(shí)驗(yàn)解讀如果一個(gè)大于1的自然數(shù)只能被1及它本身整除，則稱該數(shù)為素?cái)?shù)，否則稱為合數(shù)。每一個(gè)合數(shù)都可以分解為若干個(gè)素?cái)?shù)的乘積，并且在不計(jì)較素?cái)?shù)排列順序時(shí)這種分解是唯一的，這就是所謂的算術(shù)基本定理。Mersenne數(shù)與Fermat數(shù)是兩種具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)。Mn=2^n-1，F(xiàn)n=2^(2^n)+1。如果將素?cái)?shù)在數(shù)軸上標(biāo)出來，會(huì)發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)的分布很不規(guī)則。我們需做實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步觀察隨著整數(shù)范圍的擴(kuò)大，素?cái)?shù)是越來越稀還是越來越密？關(guān)于素?cái)?shù)還存在許許多多富于挑戰(zhàn)性的問題，如猜想；大整數(shù)的素因子分解；完全數(shù)；孿生素?cái)?shù)猜想；青一色數(shù)的素?cái)?shù)二．實(shí)驗(yàn)思路1.素?cái)?shù)的判別與

2、個(gè)數(shù)在大于1的自然數(shù)中，只能被1和它本身整除的數(shù)稱為素?cái)?shù)。規(guī)定Nn=p1p2......pn+1，當(dāng)n=1,...,20時(shí)判斷Nn是否是素?cái)?shù)，如果不是，那么Nn能不能表示成幾個(gè)素因子相乘的形式。改變n的取值范圍，觀察得出結(jié)論。根據(jù)以上的結(jié)果，猜測(cè)素?cái)?shù)是否有無窮多個(gè)，并給出相關(guān)的證明。2素?cái)?shù)表的構(gòu)造用Eratosthenes篩法和試除法列出1000內(nèi)所有的素?cái)?shù)，比較哪種方法所用的時(shí)間比較少。它們的原理為：Eratosthenes篩法的基本原理，將自然數(shù)列從2開始按順序排列至某一整數(shù)N，首先，從上述數(shù)列中劃除所有2的倍數(shù)（不包括2），在剩下的數(shù)中，除2外

3、最小的是3.接著，從數(shù)列中劃除所有3的倍數(shù)（不包括3），然后在剩下的數(shù)中，再劃去5的倍數(shù)······這個(gè)過程一直進(jìn)行下去，則最后剩下的數(shù)就是不超過N的所有素?cái)?shù)。試除法的基本原理：假設(shè)我們已經(jīng)知道前n個(gè)素?cái)?shù)p1=2,p2=3,...,pn，為找下個(gè)素?cái)?shù)，我們從pn+2開始依次檢驗(yàn)每一個(gè)整數(shù)N，看是否能被某一個(gè)pi(i=1,2,...,n)整除，若N能被前面的某個(gè)素?cái)?shù)整除，則N為合數(shù)，否則N即為下一個(gè)素?cái)?shù)pn+1。為了提高效率我們只需要用不超過N^(1/2)的素?cái)?shù)去除就可以了.3素?cái)?shù)的判別公式對(duì)n=2,3,…,100中不同的數(shù),觀察m^(n-1)被n整除

4、所得的余數(shù)。將m的值固定，變化n的值為2，3，……100取m=2，觀察2^(n-1)被n整除所得的余數(shù)取m=3，觀察3^(n-1)被n整除所得的余數(shù)取m=4，觀察4^(n-1)被n整除所得的余數(shù)………如果我們固定的是n的取值，變化m的值，那么我們得出的結(jié)果又會(huì)怎樣？取n=2，m=2,3,4,……，20，觀察m^(2-1)被2整除所得的余數(shù)取n=3,m=2,3,……，20，觀察m^(3-1)被3整除所得的余數(shù)取n=5,m=2,3,……，20，觀察m^(5-1)被5整除所得的余數(shù)得出一般性結(jié)論，。Mersenne數(shù)的素性判別：形如2^n-1的數(shù)稱為Mer

5、senne數(shù)，通過Mersenne數(shù)我們可以研究數(shù)論中的相關(guān)性質(zhì)。觀察并考慮Mersenne數(shù)與n的關(guān)系，得出一般性的結(jié)論，4.生成素?cái)?shù)的公式Fermat數(shù)：我們把形如+1表示出來的數(shù)稱為Fermat數(shù)。Fermat數(shù)是否都是素?cái)?shù)？在程序中增大n的值，很容易知道當(dāng)n變大到一個(gè)特定的值時(shí)，F(xiàn)ermat數(shù)不再是素?cái)?shù)。既然Fermat數(shù)不能作為素?cái)?shù)的生成公式，那么能不能尋求一個(gè)整系數(shù)單變量多項(xiàng)式，使得它能生出所有的素?cái)?shù)。首先考慮一次函數(shù)，顯然是不行的。再考慮二次多項(xiàng)式，如：f(n)=+n+41，f(n)=-79n+1061，f(n)=6+6n+31，觀察是

6、否無論n如何變化，f(n)都是素?cái)?shù)。若不是，再改變多項(xiàng)式的次數(shù)，觀察得出的結(jié)果有什么不同。若單變量整系數(shù)多項(xiàng)式不能生成所有的素?cái)?shù)，那么多變量整系數(shù)多項(xiàng)式呢？判斷以上的f(n,m)是否生成的均是素?cái)?shù)，它們之間有什么規(guī)律？5.素?cái)?shù)的分布在上面的實(shí)驗(yàn)中我們已經(jīng)知道了素?cái)?shù)是無窮多個(gè)的，而且素?cái)?shù)的生成公式并不是很明了，但是它的分布會(huì)不會(huì)具有什么樣的規(guī)律呢？實(shí)驗(yàn)中，用表示不超過n的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，表示區(qū)間[m,n]內(nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，再計(jì)算﹑﹑以及﹑﹑﹑。從計(jì)算結(jié)果看，隨著范圍的擴(kuò)大，素?cái)?shù)是越來越稀還是越來越密？進(jìn)一步，選取一些更長(zhǎng)的區(qū)間，做同樣的實(shí)驗(yàn)。將這些點(diǎn)畫在圖中，

7、從圖中能更清晰的看出素?cái)?shù)的分布情況。換一個(gè)角度考慮，從兩個(gè)相鄰素?cái)?shù)間距的大小同樣也可以看出素?cái)?shù)的分布，這時(shí)我們還可以發(fā)現(xiàn)一些更有趣的規(guī)律。先求出1000以內(nèi)的所有相鄰素?cái)?shù)的間距，并將點(diǎn)以（，）的形式畫在直角坐標(biāo)系中，觀察圖像的特點(diǎn)；增大n的值，再在另一個(gè)圖中畫出，從這些點(diǎn)的分布可以看出素?cái)?shù)的間隔值的某些特征，以及它們的重復(fù)次數(shù)的多少，我們還發(fā)現(xiàn)：在增大N的值的同時(shí)，圖中的點(diǎn)也會(huì)隨之變高，也就是說最大間隔值在變化。6.用函數(shù)對(duì)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行擬合用函數(shù)對(duì)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行擬合。先進(jìn)行線性擬合，選取2到1000中所有的素?cái)?shù)進(jìn)行擬合，再改變擬合的多項(xiàng)式的次數(shù)，比

8、較擬合效果。將點(diǎn)（n,）標(biāo)在平面坐標(biāo)系中,并且用折線把這些點(diǎn)連接起來，觀察的變化趨勢(shì)，然后在程序中增大N的值