解析幾何發(fā)展史.doc

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1、解析幾何在解析幾何創(chuàng)立以前，幾何與代數(shù)是彼此獨(dú)立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，使形與數(shù)統(tǒng)一起來，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次重大突破。解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何通過平面直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系，以及曲線與方程之間的一一對應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數(shù)問題。17世紀(jì)以來，由于航海、天文、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)、軍事、生產(chǎn)的發(fā)展，以及初等幾何和初等代數(shù)的迅速發(fā)展，促進(jìn)了解析幾何的建立，并被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個分支。文藝復(fù)興的300年間，各種技術(shù)都在

2、發(fā)展，新技術(shù)的發(fā)明比當(dāng)時人類歷史上曾經(jīng)有過的總和還要多，其中包括一系列重大的發(fā)明，正是這些發(fā)明為數(shù)學(xué)和科學(xué)的突飛猛進(jìn)掃清了障礙，激發(fā)了人們探索自然和了解關(guān)于數(shù)與形之間奧秘的熱情。文藝復(fù)興運(yùn)動大大解放了人們的思想，在這場運(yùn)動中，科學(xué)得到了復(fù)興，數(shù)學(xué)有了很大的發(fā)展，數(shù)學(xué)思想進(jìn)入了一個新階段。首先，阿拉伯人的代數(shù)學(xué)的思想方法得到了發(fā)展，整個16世紀(jì)乃至17世紀(jì)的數(shù)學(xué)都表現(xiàn)出這樣的傾向：一是大多數(shù)國家都采用了印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼，由此使記數(shù)和算術(shù)運(yùn)算得以簡化，大大提高了人們的數(shù)學(xué)能力。二是系統(tǒng)地采用了數(shù)學(xué)符號，使文藝復(fù)興后的數(shù)學(xué)不同與古代數(shù)學(xué)。這一大

3、進(jìn)步是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的重要基礎(chǔ)之一。三是這一時期的數(shù)學(xué)逐漸脫離了古代希臘數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，離開了嚴(yán)格的公理法，人們所關(guān)注的實(shí)際上屬于現(xiàn)在所謂代數(shù)和分析這些數(shù)學(xué)門類，這就為解析幾何的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件。隨著歐洲封建社會的解體和資本主義工場手工業(yè)向機(jī)器大生產(chǎn)的過渡，自然科學(xué)從神學(xué)中解放出來，開始大踏步前進(jìn)。十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對幾何學(xué)提出了新的需要。比如德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點(diǎn)上，提出了行星運(yùn)動三大定律；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線

4、運(yùn)動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。解析幾何的產(chǎn)生主要以笛卡爾的《幾何學(xué)》和費(fèi)馬的坐標(biāo)幾何為代表。在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個直角坐標(biāo)系oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研

5、究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對于解析幾何是重要的，就是對于幾何學(xué)的各個分支的研究也是十分重要的。解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點(diǎn)上，影片門在另一個焦點(diǎn)上。探照燈、聚光

6、燈、太陽灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的?？偟膩碚f，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問題，一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的步驟是首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標(biāo)法對近代數(shù)

7、學(xué)的機(jī)械化證明也提供了有力的工具。笛卡兒和費(fèi)馬的坐標(biāo)幾何中只有橫軸，沒有明確指出縱軸，這種方法一直延續(xù)到18世紀(jì)。直到克拉梅的出現(xiàn)，第一次正式使用縱軸的人是瑞士的克拉梅，在他的著作《代數(shù)曲線的解析引論》中正式提出。牛頓的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》包括了坐標(biāo)幾何的許多運(yùn)用，并且創(chuàng)造性地運(yùn)用新的坐標(biāo)系，他用一個固定點(diǎn)和通過此點(diǎn)的一條直線作坐標(biāo)，和極坐標(biāo)很相似。1691年，瑞士的雅各布伯努利在《教師學(xué)報》上發(fā)表了一篇基本上全是極坐標(biāo)的文章，他是極坐標(biāo)的發(fā)明者。1729年，德國的赫爾曼不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，而且自由地運(yùn)用極坐標(biāo)去研究曲線，并建

8、立了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的互換公式。歐拉擴(kuò)充了極坐標(biāo)的使用范圍并且明確使用三角函數(shù)的記號。更重要的是，要將解析幾何推廣到三維空間，笛卡兒和費(fèi)馬都曾有三維解析幾何的思想，笛卡兒在《幾何》第二卷中