西城區(qū)2012年高三一模試卷理科.doc

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1、北京市西城區(qū)2012年高三一模試卷數(shù)學(xué)（理科）2012.4第Ⅰ卷（選擇題共40分）8．已知集合，其中，且.則中所有元素之和等于（）（A）（B）（C）（D）14.在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)，?分別在射線和上運(yùn)動(dòng)，且△的面積為．則點(diǎn)，的橫坐標(biāo)之積為_(kāi)____；△周長(zhǎng)的最小值是_____．18.（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間.19.（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存

2、在定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.20.（本小題滿(mǎn)分13分）對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，…，依此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束．（Ⅰ）試問(wèn)和經(jīng)過(guò)不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫(xiě)出經(jīng)過(guò)“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；（Ⅱ）求經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；（Ⅲ）證明：一定能經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束．北京市西城區(qū)2012年高三一模試卷數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2012.48.D.14.，.18.（本

3、小題滿(mǎn)分13分）（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，．………………2分由于，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是．………………4分（Ⅱ）解：，．………………6分①當(dāng)時(shí)，令，解得．的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為，．……………8分當(dāng)時(shí)，令，解得，或．②當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，．………………10分③當(dāng)時(shí)，為常值函數(shù)，不存在單調(diào)區(qū)間．………………11分④當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，．………………13分19.（本小題滿(mǎn)分14分）（Ⅰ）解：由，得.………………2分依題意△是等腰直角三角形，從而，故.………………4分所以橢圓的方程

4、是.………………5分（Ⅱ）解：設(shè)，，直線的方程為.將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得.………………7分所以，.………………8分若平分，則直線，的傾斜角互補(bǔ)，所以.………………9分設(shè)，則有.將，代入上式，整理得，所以.………………12分將，代入上式，整理得.………………13分由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以.綜上，存在定點(diǎn)，使平分.………………14分20.（本小題滿(mǎn)分13分）（Ⅰ）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．………………2分?jǐn)?shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．……………

5、…3分（Ⅱ）解：經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．………………4分若，則經(jīng)過(guò)一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．……………5分當(dāng)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．當(dāng)時(shí)，數(shù)列．由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．其它情形同理，得證．在數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束時(shí)，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．………………8分所以，數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，

6、其中”．證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則．令，，其中．因?yàn)椋?，故，證畢．………………9分現(xiàn)將數(shù)列分為兩類(lèi)．第一類(lèi)是沒(méi)有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，．第二類(lèi)是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)．下面證明第二類(lèi)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”，一定可以得到第一類(lèi)數(shù)列．不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)最大()．（其它情形同理）①當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列；若，則；此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列；若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不

7、為，為第一類(lèi)數(shù)列；若，則；；，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列．②當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列；若()，則，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列．③當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí)，只能是，則，，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列．總之，第二類(lèi)數(shù)列至多經(jīng)過(guò)次“變換”，就會(huì)得到第一類(lèi)數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開(kāi)始減少．又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)，故經(jīng)過(guò)有限次“變換”后，數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為，此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為，從而結(jié)束．………………13分