高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件上第7_5平面方程.ppt

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1、第五節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面及其方程第七章①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱(chēng)①式為平面?的點(diǎn)法式方程,求該平面?的方程.法向量.量則有故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求過(guò)三點(diǎn)即解:取該平面?的法向量為的平面?的方程.利用點(diǎn)法式得平面?的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此平面的三點(diǎn)式方程也可寫(xiě)成一般情況:過(guò)三點(diǎn)的平面方程為說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱(chēng)為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開(kāi)得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下

2、頁(yè)返回結(jié)束二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱(chēng)為平面的一般任取一組滿(mǎn)足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特殊情形?當(dāng)D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示通過(guò)原點(diǎn)的平面;?當(dāng)A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?Ax+Cz+D=0表示?Ax+By+D=0表示?Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?By+D=0表示平行于y軸的平面;平行于z軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.機(jī)動(dòng)目錄上

3、頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過(guò)x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程(P327例4,自己練習(xí))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為平面∏2的法向量為則兩平面夾角?的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱(chēng)為兩平面的夾角.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別有下列結(jié)論：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此有例4.一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為

4、且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束外一點(diǎn),求例5.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.解:設(shè)球心為求內(nèi)切于平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)P330題4,5,8第六節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P3302,6,7,9備用

5、題求過(guò)點(diǎn)且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡(jiǎn)得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束